2021-11-26
Четырёхугольник $KLMN$ вписан в окружность. Точка $P$ лежит на его стороне $KL$, причём $PM\parallel KN$ и $PN\parallel LM$. Найдите длины отрезков $KP$ и $LP$, если $MN=6$ и $KL=13$.
Решение:
Обозначим
$\angle NKP=\angle MPL=\alpha,~\angle KNP=\angle NPM=\angle PML=\beta,~$
$\angle MLP=\angle NPK=\gamma.$
Четырёхугольник $KLMN$ - вписанный, поэтому
$\angle LMN=180^{\circ}-\angle NKL=180^{\circ}-\alpha,~$
$\angle PMN=\angle LMN-\angle PML=180^{\circ}-\alpha-\beta=\gamma.$
Значит, треугольники $KNP$, $NPM$ и $PML$ подобны.
Обозначим $PL=x$. Тогда $KP=13-x$, а т.к.
$\frac{KP}{MN}=\frac{NP}{MP}~\mbox{и}~\frac{PL}{MN}=\frac{MP}{NP},$
то
$\frac{13-x}{6}=\frac{NP}{MP}~\mbox{и}~\frac{x}{6}=\frac{MP}{NP}.$
Перемножив эти равенства, получим, что $\frac{(13-x)x}{36}=1$, или $x^{2}-13x+36=0$, откуда $x=9$ или $x=4$. Следовательно, $PL=9$, $KP=4$ или $PL=4$, $KP=9$.