2021-11-26
Через вершины $A$, $B$ и $C$ параллелограмма $ABCD$ со сторонами $AB=3$ и $BC=5$ проведена окружность, пересекающая прямую $BD$ в точке $E$, причём $BE=9$. Найдите диагональ $BD$.
Решение:
Пусть диагонали параллелограмма пересекаются в точке $O$. Обозначим $OB=OD=x$, $AO=OC=y$. По теореме о сумме квадратов диагоналей параллелограмма (см. задачу 7209)
$AC^{2}+BD^{2}=2AB^{2}+2BC^{2}.$
По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд
$BO\cdot OE=AO\cdot OC.$
Таким образом, получим систему
$\begin{cases}4x^{2}+4y^{2}=2\cdot34\\x(9-x)=y^{2},\end{cases}$
или
$\begin{cases}x^{2}+y^{2}=17\\9x=x^{2}+y^{2}.\end{cases}$
Отсюда находим, что $BD=2x=\frac{34}{9}$.