2021-11-26
Высота прямоугольного треугольника, опущенная на его гипотенузу, делит биссектрису острого угла в отношении $4:3$, считая от вершины. Найдите величину этого угла.
Решение:
Пусть высота $CD$, проведённая из вершины $C$ прямого угла прямоугольного треугольника $ABC$, пересекает биссектрису $AK$ угла $BAC$ в точке $O$. Прямоугольные треугольники $DAO$ и $CAK$ подобны по двум углам, следовательно,
$\cos\angle CAB=\frac{AD}{AC}=\frac{AO}{AK}=\frac{4}{7}.$