Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 698
2015-02-14 
Пусть
#M = \left \{ f \in C([0, \pi]) | \int_{0}^{\pi} f(x) \sin x dx = \int_{0}^{\pi} f(x) \cos x dx = 1 \right \}.#
Найти #min_{f \in M} \int_{0}^{\pi} f^{2}(x)dx.#
Решение:
Пусть #f_{0}(x) = \frac{2}{ \pi} (\sin x + \cos x).# Во-первых, #f_{0} \in M,# во-вторых, для любой функции #f \in M# #\int_{0}^{\pi} (f(x) - f_{0}(x))^{2} dx \geq 0# и поэтому
#\int_{0}^{\pi} f^{2}(x)dx \geq 2 \int_{0}^{\pi} f(x)f_{0}(x)dx - \int_{0}^{\pi} f_{0}^{2}(x)dx = \frac{8}{\pi} - \frac{4}{\pi} = \frac{4}{\pi} =#
#= \int_{0}^{\pi} f_{0}^{2}(x)dx.# Итак, минимум достигается при #f = f_{0}.#
Пусть
#M = \left \{ f \in C([0, \pi]) | \int_{0}^{\pi} f(x) \sin x dx = \int_{0}^{\pi} f(x) \cos x dx = 1 \right \}.#
Найти #min_{f \in M} \int_{0}^{\pi} f^{2}(x)dx.#
Решение:
Пусть #f_{0}(x) = \frac{2}{ \pi} (\sin x + \cos x).# Во-первых, #f_{0} \in M,# во-вторых, для любой функции #f \in M# #\int_{0}^{\pi} (f(x) - f_{0}(x))^{2} dx \geq 0# и поэтому
#\int_{0}^{\pi} f^{2}(x)dx \geq 2 \int_{0}^{\pi} f(x)f_{0}(x)dx - \int_{0}^{\pi} f_{0}^{2}(x)dx = \frac{8}{\pi} - \frac{4}{\pi} = \frac{4}{\pi} =#
#= \int_{0}^{\pi} f_{0}^{2}(x)dx.# Итак, минимум достигается при #f = f_{0}.#
