2021-11-23
Перпендикуляр к боковой стороне $AB$ трапеции $ABCD$, проходящий через её середину $K$, пересекает сторону $CD$ в точке $L$. Известно, что площадь четырёхугольника $AKLD$ в пять раз больше площади четырёхугольника $BKLC$, $CL=3$, $DL=15$, $KC=4$. Найдите длину отрезка $KD$.
Решение:
Заметим, что $\frac{S_{\Delta CKL}}{S_{\Delta DKL}}=\frac{CL}{LD}=\frac{1}{5}$. Поскольку при этом $\frac{S_{BKLC}}{S_{AKLD}}=\frac{1}{5}$, то $\frac{S_{\Delta CBK}}{S_{\Delta DAK}}=\frac{1}{5}$.
Пусть $CP$ и $DQ$ - высоты треугольников $CBK$ и $DAK$. Так как $BK=AK$, то $CP:DQ=1:5$.
По теореме о пропорциональных отрезках $PK:KQ=CL:LD=1:5$, поэтому прямоугольные треугольники $CPK$ и $KQD$ подобны. Следовательно, $CK:KD=1:5$, откуда $KD=5CK=5\cdot4=20$.