Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 697
2014-02-26 
Доказать, что всякое непрерывное отображение окружности в прямую переводит некоторую пару диаметрально противоположных точек в одну точку.
Решение:
Пусть #f: S \rightarrow \mathbf{R}# непрерывно на единичной окружности комплексной плоскости. Ð ассмотрим на отрезке #[0, 1]# непрерывную функцию #\phi(t) = f(e^{\pi i (t+1)}) - f(e^{\pi i t}).# Тогда #\phi(0) = f(-1) - f(1), \phi(1) = f(1) - f(-1) = - \phi(0)# и по теореме Коши найдется такая точка #t_{0} \in [0, 1],# что #\phi (t_{0}) = 0,# т.е. #f(e^{\pi i t_{0}}) = f(- e^{\pi i t_{0}}).#
Доказать, что всякое непрерывное отображение окружности в прямую переводит некоторую пару диаметрально противоположных точек в одну точку.
Решение:
Пусть #f: S \rightarrow \mathbf{R}# непрерывно на единичной окружности комплексной плоскости. Ð ассмотрим на отрезке #[0, 1]# непрерывную функцию #\phi(t) = f(e^{\pi i (t+1)}) - f(e^{\pi i t}).# Тогда #\phi(0) = f(-1) - f(1), \phi(1) = f(1) - f(-1) = - \phi(0)# и по теореме Коши найдется такая точка #t_{0} \in [0, 1],# что #\phi (t_{0}) = 0,# т.е. #f(e^{\pi i t_{0}}) = f(- e^{\pi i t_{0}}).#
