2021-11-23
Среди всех четырёхугольников с данными диагоналями и данным углом между ними найдите четырёхугольник наименьшего периметра.
Решение:
Пусть диагонали $AC$ и $BD$ четырёхугольника $ABCD$ равны соответственно $a$ и $b$, а угол между ними равен $\alpha$. При параллельном переносе на вектор $\overrightarrow{BA}$ диагональ $BD$ переходит в отрезок $AM$; при параллельном переносе на вектор $\overrightarrow{BC}$ диагональ $BD$ переходит в отрезок $CK$. Тогда четырёхугольник $ACKM$ - параллелограмм со сторонами $a$ и $b$ и углом $\alpha$ между ними. Если $N$ - точка пересечения диагоналей $AK$ и $CM$ этого параллелограмма, то
$AB+BC+CD+AD=DM+DK+CD+AD=(DM+CD)+(DK+AD)\geq CM+AK=NC+NM+NA+NK.$
Следовательно, вершина $D$ искомого четырёхугольника $ABCD$ минимального периметра должна совпасть с точкой $N$.
Параллелограмм $ACKM$ можно построить по двум сторонам и углу между ними. Вершина $D$ искомого четырёхугольника есть точка пересечения диагоналей этого параллелограмма, а четвёртая вершина $B$ - образ точки $D$ при параллельном переносе на вектор $\overrightarrow{KC}$.