2021-11-23
Найдите точку, сумма расстояний от которой до вершин данного выпуклого четырёхугольника минимальна.
Решение:
Пусть $M$ - точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$. Тогда для произвольной точки $K$ верны следующие неравенства:
$AK+KC\geq AC,~BK+KD\geq BD.$
Поэтому
$KA+KC+KB+KD\geq AC+BD=MA+MC+MB+MD,$
причём равенство достигается только в том случае, когда точка $K$ совпадает с $M$.