2021-11-23
В некотором царстве, в некотором государстве есть несколько городов, причём расстояния между ними все попарно различны. В одно прекрасное утро из каждого города вылетает по одному самолёту, который приземляется в ближайшем соседнем городе. Может ли в одном городе приземлиться более пяти самолётов?
Решение:
Допустим, что в городе $P$ приземлится, например, 6 самолётов, вылетевших из городов $A_{1},A_{2},\ldots,A_{6}$, и точки $A_{1},A_{2},\ldots,A_{6}$ - последовательные вершины шестиугольника. Поскольку расстояние между городами $A_{1}$ и $A_{2}$ должно быть больше, чем расстояние от каждого из них до города $P$, то $\angle A_{1}PA_{2}\gt60^{\circ}$. Аналогично углы $A_{2}PA_{3}$, $A_{3}PA_{4}$, $A_{4}PA_{5}$, $A_{5}PA_{6}$, $A_{6}PA_{1}$ больше $60^{\circ}$. Но тогда полный угол при точке $P$ будет превосходить $360^{\circ}$, что невозможно.