2021-11-23
В треугольник с периметром $2p$ вписана окружность. К этой окружности проведена касательная, параллельная стороне треугольника. Найдите наибольшую возможную длину отрезка этой касательной, заключённого внутри треугольника.
Решение:
Пусть $PQ$ - указанный отрезок касательной к окружности, вписанной в треугольник $ABC$ с периметром $2p$, $PQ\parallel AB$. Обозначим $PQ=x$, $AB=c$.
Треугольники $CPQ$ и $CAB$ подобны с коэффициентом $\frac{x}{c}$. Если $p_{1}$ - полупериметр треугольника $CPQ$, то $p_{1}=p\cdot\frac{x}{c}$. С другой стороны, если $K$ - точка касания вписанной окружности со стороной $AC$, то
$p_{1}=CK=p-AB=p-c$
(см. задачи 7916 и 4014). Поэтому
$p\cdot\frac{x}{c}=p-c.$
Следовательно,
$x=\frac{1}{p}\cdot c(p-c)\leq\frac{1}{p}\cdot\left(\frac{c+(p-c)}{2}\right)^{2}=\frac{1}{p}\cdot\frac{(c+p-c)^{2}}{4}=\frac{1}{p}\cdot\left(\frac{p^{2}}{4}\right)=\frac{p}{4},$
причём равенство достигается при $c=p-c$, т.е. при $c=\frac{p}{2}$.