ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2014-02-26   
Пусть #e_{1}, \cdots, e_{n}# "” ортонормированный базис в #\mathbf{R}^{n},#, а #a_{1}, \cdots, a_{n}# "” векторы единичной длины. Доказать, что если #(a_{1},e_{1}) + \cdots + (a_{n},e_{n}) > \sqrt{n(n"”1)},# то векторы #a_{1}, \cdots, a_{n}# линейно независимы.


Решение:


Пусть #a_{i} = (a_{i1}, a_{i2}, \cdots, a_{in}).# Предположим, что векторы #a_{1}, \cdots, a_{n}# линейно зависимы. Тогда в матрице #(a_{ij})# линейно зависимы не только строки, но и столбцы. Поэтому существуют числа #\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n}# (можно считать, что #\sum_{j=1}^{n} \alpha_{j}^{2} = 1#) такие, что #\sum_{j=1}^{n} \alpha_{j} a_{ij} = 0# при #1 \leq i \leq n.# Поэтому #\alpha_{i}^{2}a_{ii}^{2} =# #= \left ( "” \sum_{j \neq i} \alpha_{j} a_{ij} \right )^{2} \leq \left ( \sum_{j \neq i} \alpha_{j}^{2} \right ) \left ( \sum_{j \neq i} a_{ij}^{2} \right ) = (1 "” \alpha_{i}^{2})(1 "” a_{ii}^{2}),# т.е. #a_{ii}^{2} + \alpha_{i}^{2} \leq 1.# Следовательно, #(a_{1}, e_{1}) + \cdots + (a_{n}, e_{n}) =# #= \sum_{i=1}^{n} a_{ii} \leq \sum_{i=1}^{n} \sqrt{1 "” \alpha_{i}^{2}} \leq \sqrt{\sum_{i=1}^{n} 1} \cdot \sqrt{\sum_{i=1}^{n} (1 "” \alpha_{i}^{2})} = \sqrt{n(n"”1)}.#