2021-11-23
Пусть $h_{1}$, $h_{2}$, $h_{3}$ - высоты треугольника, $r$ - радиус вписанной окружности. Докажите, что $h_{1}+h_{2}+h_{3}\geq9r$.
Решение:
Пусть $a$, $b$, $c$ - стороны треугольника, соответствующие высотам $h_{1}$, $h_{2}$, $h_{2}$; $S$ - площадь треугольника. Тогда
$S=\frac{1}{2}ah_{1}=\frac{a+b+c}{2}r.$
Поэтому
$h_{1}=\left(1+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}\right)r.$
Аналогично
$h_{2}=\left(1+\frac{a}{b}+\frac{c}{b}\right)r,~h_{3}=\left(1+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\right)r.$
Следовательно,
$h_{1}+h_{2}+h_{3}=\left(3+\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)+\left(\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\right)\right)r\geq(3+2+2+2)r=9r.$