2021-11-23
Внутри треугольника $ABC$ взята точка $M$. Докажите, что
$AM\cdot BC+BM\cdot AC+CM\cdot AB\geq4S,$
где $S$ - площадь треугольника $ABC$.
Решение:
Опустим из точек $B$ и $C$ перпендикуляры $BB_{1}$ и $CC_{1}$ на прямую $AM$. Тогда
$2S_{\Delta AMB}+2S_{\Delta AMC}=AM\cdot BB_{1}+AM\cdot CC_{1}=AM(BB_{1}+CC_{1})\leq AM\cdot BC.$
Аналогично докажем, что
$2S_{\Delta AMC}+2S_{\Delta BMC}\leq CM\cdot AB,~2S_{\Delta BMC}+2S_{\Delta BMA}\leq BM\cdot AC.$
Сложив почленно эти неравенства, получим, что
$4(S_{\Delta AMB}+S_{\Delta AMC}+S_{\Delta BMC})\leq AM\cdot BC+BM\cdot AC+CM\cdot AB.$
Следовательно,
$4S\leq AM\cdot BC+BM\cdot AC+CM\cdot AB.$