2021-11-23
Через точку пересечения двух окружностей проведите прямую, на которой окружности высекают хорды, сумма которых наибольшая. (Центры окружностей расположены по разные стороны от их общей хорды.)
Решение:
Пусть $M$ - общая точка окружностей с центрами $O_{1}$ и $O_{2}$; прямая, проходящая через точку $M$ пересекает окружности в точках $A$ и $B$ соответственно.
Если $P$ и $Q$ - проекции точек $O_{1}$ и $O_{2}$ на эту прямую, то $P$ - середина $AM$, а $Q$ - середина $BM$. Тогда
$PQ=\frac{1}{2}AM+\frac{1}{2}BM=\frac{1}{2}AB,~PQ\le O_{1}O_{2},$
причём равенство достигается, если прямая $AB$ перпендикулярна общей хорде двух окружностей.
Следовательно, искомая прямая параллельна линии центров $O_{1}O_{2}$ данных окружностей.