Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 694
2014-02-26 
Доказать, что существует многочлен #P(x)# такой, что для любого натурального числа #n# #\int_{n-1}^{n}P(x)dx = n^{4}.# Найти сумму #sum_{k=1}^{n}k^{4}.#
Решение:
Будем искать полином четвертой степени: #P(x) = ax^{2} + bx^{3} + cx^{2} + dx + e.# Вычислив интеграл и приравняв коэффициенты при степенях #n# в левой и правой частях, получим линейную систему относительно переменных #a,b,c,d,e# с треугольной матрицей: #\left( \begin{array}{ccccc|c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ -2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 2 & -\frac{3}{2} & 1 & 0 & 0 & 0\\ -1 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0\\ \frac{1}{5} & -\frac{1}{4} & \frac{1}{3} & -\frac{1}{2} & 1 & 0\\ \end{array} \right)# Отсюда находим #P(x) = x^{4} + 2x^{3} + x^{2} - \frac{1}{30}# #\sum_{k=1}^{n} k^{4} = \int_{0}^{n} P(x)dx = \frac{n}{30} (6n^{4} + 15n^{3} + 10n^{2} - 1).#
Доказать, что существует многочлен #P(x)# такой, что для любого натурального числа #n# #\int_{n-1}^{n}P(x)dx = n^{4}.# Найти сумму #sum_{k=1}^{n}k^{4}.#
Решение:
Будем искать полином четвертой степени: #P(x) = ax^{2} + bx^{3} + cx^{2} + dx + e.# Вычислив интеграл и приравняв коэффициенты при степенях #n# в левой и правой частях, получим линейную систему относительно переменных #a,b,c,d,e# с треугольной матрицей: #\left( \begin{array}{ccccc|c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ -2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 2 & -\frac{3}{2} & 1 & 0 & 0 & 0\\ -1 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0\\ \frac{1}{5} & -\frac{1}{4} & \frac{1}{3} & -\frac{1}{2} & 1 & 0\\ \end{array} \right)# Отсюда находим #P(x) = x^{4} + 2x^{3} + x^{2} - \frac{1}{30}# #\sum_{k=1}^{n} k^{4} = \int_{0}^{n} P(x)dx = \frac{n}{30} (6n^{4} + 15n^{3} + 10n^{2} - 1).#
