Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 691
2014-02-26 
Пусть комплексные числа #a, b# и #c# такие, что все корни уравнения #z^{3} + az^{2} + bz + c = 0# лежат на окружности #|z| = 1.# Доказать, что все корни уравнения #z^{3} + |a|z^{2} + |b|z + |c| = 0# также лежат на окружности #|z| = 1.#
Решение:
Пусть #z_{1}, z_{2}, z_{3}# "” корни уравненияее #z^{3} + az^{2} +bz +# Тогда #+ c = 0.# Так как #|c| = |z_{1}z_{2}z_{3}| = 1,# то #|a| = |b|,# и второе уравнение принимает вид #z^{3} + |a| z^{2} + |a| z + 1 = 0.# Один из корней этого уравнения равен "”1, а два других являются комплексно сопряженными числами, произведение которых равно 1. Следовательно, они также лежат на окружности #|z| = 1.#
Пусть комплексные числа #a, b# и #c# такие, что все корни уравнения #z^{3} + az^{2} + bz + c = 0# лежат на окружности #|z| = 1.# Доказать, что все корни уравнения #z^{3} + |a|z^{2} + |b|z + |c| = 0# также лежат на окружности #|z| = 1.#
Решение:
Пусть #z_{1}, z_{2}, z_{3}# "” корни уравненияее #z^{3} + az^{2} +bz +# Тогда #+ c = 0.# Так как #|c| = |z_{1}z_{2}z_{3}| = 1,# то #|a| = |b|,# и второе уравнение принимает вид #z^{3} + |a| z^{2} + |a| z + 1 = 0.# Один из корней этого уравнения равен "”1, а два других являются комплексно сопряженными числами, произведение которых равно 1. Следовательно, они также лежат на окружности #|z| = 1.#
