Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 689
2014-02-26 
Пусть #A(x)# "” квадратная матрица порядка #2n+1,# определенная на интервале #(0,1).# Известно, что #det A(x) = 1# для всех #x#, и для любой постоянной матрицы #B# существует предел #lim_{x \rightarrow + 0} A(x)BA^{-1}(x).# Доказать, что существуют пределы #lim_{x \rightarrow + 0} A(x)# и #lim_{x \rightarrow + 0} A^{-1}(x)#
Решение:
Пусть #C = AE_{ij}A^{-1},# где #E_{ij}# "” матрица, в которой на пересечении #i#-й строки и #j.#-го столбца стоит 1, а все остальные элементы равны нулю. Тогда #c_{kl}(x) = a_{ki}(x)A_{lj}(x),# (*) где #A_{lj}# "” алгебраическое дополнение элемента #a_{lj}# в #det A.# Заметим, что выражение #( A_{lj}(x))^{2n + 1} \cdot det A(x)# является суммой произведений вида (*), поэтому оно имеет предел при #x \rightarrow + 0.# Но #det A(x) = 1,# следовательно, существует предел #lim_{x \rightarrow + 0} A_{lj}(x) (\forall l, j).#
Пусть #A(x)# "” квадратная матрица порядка #2n+1,# определенная на интервале #(0,1).# Известно, что #det A(x) = 1# для всех #x#, и для любой постоянной матрицы #B# существует предел #lim_{x \rightarrow + 0} A(x)BA^{-1}(x).# Доказать, что существуют пределы #lim_{x \rightarrow + 0} A(x)# и #lim_{x \rightarrow + 0} A^{-1}(x)#
Решение:
Пусть #C = AE_{ij}A^{-1},# где #E_{ij}# "” матрица, в которой на пересечении #i#-й строки и #j.#-го столбца стоит 1, а все остальные элементы равны нулю. Тогда #c_{kl}(x) = a_{ki}(x)A_{lj}(x),# (*) где #A_{lj}# "” алгебраическое дополнение элемента #a_{lj}# в #det A.# Заметим, что выражение #( A_{lj}(x))^{2n + 1} \cdot det A(x)# является суммой произведений вида (*), поэтому оно имеет предел при #x \rightarrow + 0.# Но #det A(x) = 1,# следовательно, существует предел #lim_{x \rightarrow + 0} A_{lj}(x) (\forall l, j).#
