Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 687
2014-02-26 
Касательные к параболе #y^{2} = 2px# в точках #A, B# и #C# образуют треугольник #KLM# Доказать, что #S_{KLM} = \frac{1}{2}S_{ABC}.#
Решение:
Касательные к параболе в точках #\left ( \frac{y_{i}^{2}}{2p} , y_{i} \right )# #(i = 1, 2, 3)# задаются уравнениями #yy_{i} = px + \frac{y_{i}^{2}}{2}.# Касательные пересекаются в точках #\left ( \frac{y_{i}y_{j}}{2p} , \frac{y_{i} + y_{j}}{2} \right ).# Следовательно, #S_{ABC} = \frac{1}{2} | \begin{vmatrix} y_{1}^{2}/2p & y_{1} & 1 \\ y_{2}^{2}/2p & y_{2} & 1 \\ y_{1}^{3}/2p & y_{3} & 1 \end{vmatrix} |# В то же время #S_{KLM} = \frac{1}{2} | \begin{vmatrix} y_{1}y_{2}/2p & (y_{1} + y_{2})/2 & 1 \\ y_{2}y_{3}/2p & (y_{2} + y_{3})/2 & 1 \\ y_{3}y_{1}/2p & (y_{3} + y_{1})/2 & 1 \end{vmatrix} |.# Отсюда находим #S_{KLM} = \frac{1}{2} S_{ABC}.#
Касательные к параболе #y^{2} = 2px# в точках #A, B# и #C# образуют треугольник #KLM# Доказать, что #S_{KLM} = \frac{1}{2}S_{ABC}.#
Решение:
Касательные к параболе в точках #\left ( \frac{y_{i}^{2}}{2p} , y_{i} \right )# #(i = 1, 2, 3)# задаются уравнениями #yy_{i} = px + \frac{y_{i}^{2}}{2}.# Касательные пересекаются в точках #\left ( \frac{y_{i}y_{j}}{2p} , \frac{y_{i} + y_{j}}{2} \right ).# Следовательно, #S_{ABC} = \frac{1}{2} | \begin{vmatrix} y_{1}^{2}/2p & y_{1} & 1 \\ y_{2}^{2}/2p & y_{2} & 1 \\ y_{1}^{3}/2p & y_{3} & 1 \end{vmatrix} |# В то же время #S_{KLM} = \frac{1}{2} | \begin{vmatrix} y_{1}y_{2}/2p & (y_{1} + y_{2})/2 & 1 \\ y_{2}y_{3}/2p & (y_{2} + y_{3})/2 & 1 \\ y_{3}y_{1}/2p & (y_{3} + y_{1})/2 & 1 \end{vmatrix} |.# Отсюда находим #S_{KLM} = \frac{1}{2} S_{ABC}.#
