Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 686
2014-02-26 
Всегда ли будет измеримым по Жордану ограниченное открытое связное множество на плоскости?
Решение:
Нет. Пусть #{s_{n}}_{n=1}^{\infty}# "” множество всех точек квадрата #[0, 1]^{2},# у которых обе координаты рациональны. Для данного #\varepsilon > 0# можно окружить каждую точку #s_{n}# таким малым кругом #B_{n}(s_{n}),# что сумма площадей кругов-соседей #B_{n}# и #B_{n+1}# с площадью соединяющего их коридора (можно, например, провести две внешние касательные) будет меньше, чем #\varepsilon / 2^{n}# Пусть #n \in \mathbf{N}.# "” обÑŠединение всех таких трубочек. Так как нижняя мера #G# а #\mu_{*}G \leq \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\varepsilon}{2^{n}} = \varepsilon ,# всюду плотно в квадрате #G# (и тем самым верхняя мера #[0, 1]^{2}#), то #\mu^{*}G = 1# не измеримо по Жордану.
Всегда ли будет измеримым по Жордану ограниченное открытое связное множество на плоскости?
Решение:
Нет. Пусть #{s_{n}}_{n=1}^{\infty}# "” множество всех точек квадрата #[0, 1]^{2},# у которых обе координаты рациональны. Для данного #\varepsilon > 0# можно окружить каждую точку #s_{n}# таким малым кругом #B_{n}(s_{n}),# что сумма площадей кругов-соседей #B_{n}# и #B_{n+1}# с площадью соединяющего их коридора (можно, например, провести две внешние касательные) будет меньше, чем #\varepsilon / 2^{n}# Пусть #n \in \mathbf{N}.# "” обÑŠединение всех таких трубочек. Так как нижняя мера #G# а #\mu_{*}G \leq \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\varepsilon}{2^{n}} = \varepsilon ,# всюду плотно в квадрате #G# (и тем самым верхняя мера #[0, 1]^{2}#), то #\mu^{*}G = 1# не измеримо по Жордану.
