Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 685
2014-02-26 
Доказать, что ее найдутся натуральное число #\forall \varepsilon > 0# и числа #n# такие, что #a_{1}, \cdots, a_{n}#
Решение:
Ð ассмотрим функцию #f(x) = x (1 - x^{2})^{n}.# На отрезке #[0, 1]# #f_{max} = f \left ( \frac{1}{\sqrt{1 + 2n}} \right ) = \frac{1}{\sqrt{1 + 2n}} \left ( 1 - \frac{1}{2n+1} \right )^{2}.# При #n \rightarrow \infty f_{max} \rightarrow 0,# поэтому в качестве искомого многочлена можно взять #P(x) = x - x (1 -x^{2})^{n}# при достаточно большом #n.# Замечание. Согласно теореме Мюнца, система степеней #{1, x^{p_{k}}}_{k=1}^{\infty} , {p_{k}}_{k=1}^{\infty} \subset \mathbf{N},# полная в #C([0,1])# тогда и только тогда, когда #\sum_{k > 1} \frac{1}{p_{k}} = + \infty.#
Доказать, что ее найдутся натуральное число #\forall \varepsilon > 0# и числа #n# такие, что #a_{1}, \cdots, a_{n}#
Решение:
Ð ассмотрим функцию #f(x) = x (1 - x^{2})^{n}.# На отрезке #[0, 1]# #f_{max} = f \left ( \frac{1}{\sqrt{1 + 2n}} \right ) = \frac{1}{\sqrt{1 + 2n}} \left ( 1 - \frac{1}{2n+1} \right )^{2}.# При #n \rightarrow \infty f_{max} \rightarrow 0,# поэтому в качестве искомого многочлена можно взять #P(x) = x - x (1 -x^{2})^{n}# при достаточно большом #n.# Замечание. Согласно теореме Мюнца, система степеней #{1, x^{p_{k}}}_{k=1}^{\infty} , {p_{k}}_{k=1}^{\infty} \subset \mathbf{N},# полная в #C([0,1])# тогда и только тогда, когда #\sum_{k > 1} \frac{1}{p_{k}} = + \infty.#
