Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 6846
2021-11-23 
Основание и боковая сторона равнобедренного треугольника равны 26 и 38 соответственно.
а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная основанию, пересекает окружность, вписанную в треугольник.
б) Найдите длину отрезка этой средней линии, заключённого внутри окружности.
Решение:
а) Пусть $O$ - центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$ со сторонами $AB=AC=38$, $BC=26$ (рис.1), $AH$ - высота треугольника, точки $M$ и $N$ - середины сторон $AB$ и $AC$ соответственно, $K$ - точка пересечения $AH$ и $MN$, $p$ - полупериметр треугольника $ABC$. Поскольку $MN$ - средняя линия равнобедренного треугольника, точка $K$ - общая середина $MN$ и $AH$.
Из прямоугольного треугольника $ABH$ находим, что
$AH=\sqrt{AB^{2}-BH^{2}}=\sqrt{38^{2}-13^{2}}=5\sqrt{51},$
значит, $KH=\frac{1}{2}AH=\frac{5\sqrt{51}}{2}$.
Пусть $r$ - радиус вписанной окружности треугольника $ABC$. Тогда
$r=\frac{S_{\Delta ABC}}{p}=\frac{\frac{1}{2}BC\cdot AH}{AB+BH}=\frac{13\cdot5\sqrt{51}}{38+13}=\frac{65\sqrt{51}}{51},$
а диаметр вписанной окружности равен $2r=\frac{130\sqrt{51}}{51}$. Поскольку
$\frac{130\sqrt{51}}{51}\gt\frac{5\sqrt{51}}{2}~\Leftrightarrow~\frac{130}{51}\gt\frac{5}{2}~\Leftrightarrow~260\gt255,$
диаметр окружности больше $KH$. Следовательно, вписанная окружность пересекает среднюю линию $MN$ треугольника.
б) Пусть вписанная окружность касается сторон $AB$ и $AC$ в точках $D$ и $E$ соответственно (рис.2), а средняя линия $MN$ пересекает эту окружность в точках $P$ и $Q$ ($P$ между $M$ и $Q$). Тогда
$AD=p-BC=51-26=25,~MD=AD-AM=25-19=6$
(см. задачу 4014). По теореме о касательной и секущей $MD^{2}=MP\cdot MQ$, а т.к.
$MP=NQ=\frac{1}{2}(MN-PQ)=\frac{1}{2}(13-PQ),~$
$MQ=MP+PQ=\frac{1}{2}(MN+PQ)=\frac{1}{2}(13+PQ),$
то $36=\frac{1}{4}(13-PQ)(13+PQ)$. Отсюда находим, что $PQ=5$.
Основание и боковая сторона равнобедренного треугольника равны 26 и 38 соответственно.
а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная основанию, пересекает окружность, вписанную в треугольник.
б) Найдите длину отрезка этой средней линии, заключённого внутри окружности.
Решение:
а) Пусть $O$ - центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$ со сторонами $AB=AC=38$, $BC=26$ (рис.1), $AH$ - высота треугольника, точки $M$ и $N$ - середины сторон $AB$ и $AC$ соответственно, $K$ - точка пересечения $AH$ и $MN$, $p$ - полупериметр треугольника $ABC$. Поскольку $MN$ - средняя линия равнобедренного треугольника, точка $K$ - общая середина $MN$ и $AH$.
Из прямоугольного треугольника $ABH$ находим, что
$AH=\sqrt{AB^{2}-BH^{2}}=\sqrt{38^{2}-13^{2}}=5\sqrt{51},$
значит, $KH=\frac{1}{2}AH=\frac{5\sqrt{51}}{2}$.
Пусть $r$ - радиус вписанной окружности треугольника $ABC$. Тогда
$r=\frac{S_{\Delta ABC}}{p}=\frac{\frac{1}{2}BC\cdot AH}{AB+BH}=\frac{13\cdot5\sqrt{51}}{38+13}=\frac{65\sqrt{51}}{51},$
а диаметр вписанной окружности равен $2r=\frac{130\sqrt{51}}{51}$. Поскольку
$\frac{130\sqrt{51}}{51}\gt\frac{5\sqrt{51}}{2}~\Leftrightarrow~\frac{130}{51}\gt\frac{5}{2}~\Leftrightarrow~260\gt255,$
диаметр окружности больше $KH$. Следовательно, вписанная окружность пересекает среднюю линию $MN$ треугольника.
б) Пусть вписанная окружность касается сторон $AB$ и $AC$ в точках $D$ и $E$ соответственно (рис.2), а средняя линия $MN$ пересекает эту окружность в точках $P$ и $Q$ ($P$ между $M$ и $Q$). Тогда
$AD=p-BC=51-26=25,~MD=AD-AM=25-19=6$
(см. задачу 4014). По теореме о касательной и секущей $MD^{2}=MP\cdot MQ$, а т.к.
$MP=NQ=\frac{1}{2}(MN-PQ)=\frac{1}{2}(13-PQ),~$
$MQ=MP+PQ=\frac{1}{2}(MN+PQ)=\frac{1}{2}(13+PQ),$
то $36=\frac{1}{4}(13-PQ)(13+PQ)$. Отсюда находим, что $PQ=5$.
