Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 684
2014-02-26 
Найти обÑŠем сечения четырехмерного куба #{x \in \mathbf{R}^{4} | 0 \leq x_{k} \leq 1, k \in \overline{1,4}}# гиперплоскостью #x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 2.#
Решение:
Точки пересечения секущей плоскости с координатными осями образуют правильный тетраэдр с ребром #2 \sqrt{2}.# Плоскости #x_{k} = 1# отсекают от него четыре правильных тетраэдра с ребром #\sqrt{2}# Так как обÑŠем правильного тетраэдра с ребром #a# равен #\frac{\sqrt{2}}{12}a^{3},# то обÑŠем сечения равен #\frac{\sqrt{2}}{12} (2\sqrt{2})^{2} - \frac{\sqrt{2}}{12} (\sqrt{2})^{2} = \frac{4}{3}.#
Найти обÑŠем сечения четырехмерного куба #{x \in \mathbf{R}^{4} | 0 \leq x_{k} \leq 1, k \in \overline{1,4}}# гиперплоскостью #x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 2.#
Решение:
Точки пересечения секущей плоскости с координатными осями образуют правильный тетраэдр с ребром #2 \sqrt{2}.# Плоскости #x_{k} = 1# отсекают от него четыре правильных тетраэдра с ребром #\sqrt{2}# Так как обÑŠем правильного тетраэдра с ребром #a# равен #\frac{\sqrt{2}}{12}a^{3},# то обÑŠем сечения равен #\frac{\sqrt{2}}{12} (2\sqrt{2})^{2} - \frac{\sqrt{2}}{12} (\sqrt{2})^{2} = \frac{4}{3}.#
