Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 6836
2021-11-23 
На диагоналях трапеции как на диаметрах построены окружности.
а) Докажите, что их общая хорда перпендикулярна основаниям трапеции.
б) Найдите длину этой хорды, если известно, что основания трапеции равны 1 и 11, а диагонали - 6 и 8.
Решение:
а) Пусть $O_{1}$ и $O_{2}$ - середины диагоналей $AC$ и $BD$ трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ (рис.1). Тогда $O_{1}$ и $O_{1}$ - центры окружностей с диаметрами $AC$ и $BD$. Пусть $M$ и $N$ - точки пересечения этих окружностей. Линия центров пересекающихся окружностей перпендикулярна их линии центров, поэтому $MN\perp O_{1}O_{2}$, а т.к. отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен её основаниям, то $MN\perp AD$ и $MN\perp BC$.
б) Пусть $BC=1$, $AD=11$, $AC=6$, $BD=8$ (рис.2). Расстояние между серединами диагоналей трапеции равно полуразности оснований (см. задачу 4883), поэтому
$O_{1}O_{2}=\frac{AD-BC}{2}=\frac{11-1}{2}=5.$
Линия центров пересекающихся окружностей перпендикулярна общей хорде и делит её пополам, поэтому отрезок $MN$ вдвое больше высоты $MK$ треугольника $O_{1}MO_{2}$ со сторонами $O_{1}M=\frac{1}{2}AC=3$, $O_{2}M=\frac{1}{2}BD=4$ и $O_{1}O_{2}=5$. Этот треугольник прямоугольный с прямым углом при вершине $M$. Значит,
$MK=\frac{O_{1}M\cdot O_{2}M}{O_{1}O_{2}}=\frac{3\cdot4}{5}=\frac{12}{5}.$
Следовательно, $MN=2MK=\frac{24}{5}=4{,}8$.
На диагоналях трапеции как на диаметрах построены окружности.
а) Докажите, что их общая хорда перпендикулярна основаниям трапеции.
б) Найдите длину этой хорды, если известно, что основания трапеции равны 1 и 11, а диагонали - 6 и 8.
Решение:
а) Пусть $O_{1}$ и $O_{2}$ - середины диагоналей $AC$ и $BD$ трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ (рис.1). Тогда $O_{1}$ и $O_{1}$ - центры окружностей с диаметрами $AC$ и $BD$. Пусть $M$ и $N$ - точки пересечения этих окружностей. Линия центров пересекающихся окружностей перпендикулярна их линии центров, поэтому $MN\perp O_{1}O_{2}$, а т.к. отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен её основаниям, то $MN\perp AD$ и $MN\perp BC$.
б) Пусть $BC=1$, $AD=11$, $AC=6$, $BD=8$ (рис.2). Расстояние между серединами диагоналей трапеции равно полуразности оснований (см. задачу 4883), поэтому
$O_{1}O_{2}=\frac{AD-BC}{2}=\frac{11-1}{2}=5.$
Линия центров пересекающихся окружностей перпендикулярна общей хорде и делит её пополам, поэтому отрезок $MN$ вдвое больше высоты $MK$ треугольника $O_{1}MO_{2}$ со сторонами $O_{1}M=\frac{1}{2}AC=3$, $O_{2}M=\frac{1}{2}BD=4$ и $O_{1}O_{2}=5$. Этот треугольник прямоугольный с прямым углом при вершине $M$. Значит,
$MK=\frac{O_{1}M\cdot O_{2}M}{O_{1}O_{2}}=\frac{3\cdot4}{5}=\frac{12}{5}.$
Следовательно, $MN=2MK=\frac{24}{5}=4{,}8$.
