Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 683
2014-02-26 
Доказать, что #lim_{x \rightarrow + \infty} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{nx}{(n^{2} + x)^{2}} = \frac{1}{2}.#
Решение:
Из доказательства интегрального признака сходимости рядов следует, что #0 \leq \sum_{n=1}^{\infty} \frac{nx}{(n^{2} + x)^{2}} - \int_{1}^{+ \infty} \frac{tx}{(t^{2} + x)^{2}} dt \leq \frac{x}{1 + x^{2}}.# Поэтому #lim_{x \rightarrow + \infty} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{nx}{(n^{2} + x)^{2}} = lim_{x \rightarrow + \infty} \int_{1}^{+ \infty} \frac{tx}{(t^{2} + x)^{2}} dt = lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{x}{2} \int_{1+x}^{+ \infty} \frac{du}{u^{2}} = \frac{1}{2}.#
Доказать, что #lim_{x \rightarrow + \infty} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{nx}{(n^{2} + x)^{2}} = \frac{1}{2}.#
Решение:
Из доказательства интегрального признака сходимости рядов следует, что #0 \leq \sum_{n=1}^{\infty} \frac{nx}{(n^{2} + x)^{2}} - \int_{1}^{+ \infty} \frac{tx}{(t^{2} + x)^{2}} dt \leq \frac{x}{1 + x^{2}}.# Поэтому #lim_{x \rightarrow + \infty} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{nx}{(n^{2} + x)^{2}} = lim_{x \rightarrow + \infty} \int_{1}^{+ \infty} \frac{tx}{(t^{2} + x)^{2}} dt = lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{x}{2} \int_{1+x}^{+ \infty} \frac{du}{u^{2}} = \frac{1}{2}.#
