Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 682
2014-02-26 
Пусть #a_{1}, \cdots, a_{n}# "” положительные числа. Доказать, что многочлен #x^{n} - a_{1}x^{n-1} - \cdots - a_{n}# имеет ровно один положительный корень.
Решение:
Ð ассмотрим функцию #f(x) = \frac{a_{1}}{x} + \frac{a_{2}}{x^{2}} + \cdots + \frac{a_{n}}{x^{n}} # На полуоси #(0, + \infty)# функция #f(x)# строго убывает от #+ \infty# до нуля. Следовательно, существует единственное положительное #x_{0}# такое, что #f(x_{0}) = 1,# т.е. #\frac{a_{1}}{x_{0}} + \frac{a_{2}}{x_{0}^{n}} + \cdots + \frac{a_{n}}{x_{0}^{n}} = 1.#
Пусть #a_{1}, \cdots, a_{n}# "” положительные числа. Доказать, что многочлен #x^{n} - a_{1}x^{n-1} - \cdots - a_{n}# имеет ровно один положительный корень.
Решение:
Ð ассмотрим функцию #f(x) = \frac{a_{1}}{x} + \frac{a_{2}}{x^{2}} + \cdots + \frac{a_{n}}{x^{n}} # На полуоси #(0, + \infty)# функция #f(x)# строго убывает от #+ \infty# до нуля. Следовательно, существует единственное положительное #x_{0}# такое, что #f(x_{0}) = 1,# т.е. #\frac{a_{1}}{x_{0}} + \frac{a_{2}}{x_{0}^{n}} + \cdots + \frac{a_{n}}{x_{0}^{n}} = 1.#
