Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 6815
2021-11-23 
Вневписанная окружность равнобедренного треугольника касается его боковой стороны.
а) Докажите, что радиус этой окружности равен высоте треугольника, опущенной на основание.
б) Известно, что радиус этой окружности в пять раз больше радиуса вписанной окружности треугольника. В каком отношении точка касания вписанной окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону?
Решение:
а) Пусть вписанная окружность с центром $O$ касается боковой стороны $AB$ и основания $BC$ равнобедренного треугольника $ABC$ в точках $M$ и $H$ (рис.1), а окружность с центром $O_{1}$ касается боковой стороны $AB$, продолжения основания $BC$ в точке $D$ и продолжения боковой стороны $AC$ в точке $E$. Тогда $AH$ - высота треугольника $ABC$.
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому $AO_{1}$ - биссектриса угла $BAE$. В четырёхугольнике $AHDO_{1}$ угол $HAO_{1}$ - прямой как угол между биссектрисами смежных углов $BAC$ и $BAE$, а т.к. $\angle HDO_{1}=\angle AHD=90^{\circ}$, то $AHDO_{1}$ - прямоугольник, поэтому $O_{1}D=AH$.
б) Пусть радиус окружности с центром $O$ равен $r$ (рис.2). Тогда радиус окружности с центром $O_{1}$ равен $5r$.
$AH=O_{1}D=5r,~OA=AH-OH=5r-r=4r.$
Из прямоугольного треугольника $AOM$ находим, что
$AM=\sqrt{AO^{2}-OM^{2}}=\sqrt{16r^{2}-r^{2}}=r\sqrt{15}.$
Прямоугольные треугольники $AOM$ и $ABH$ подобны по двум углам, поэтому $\frac{AM}{OM}=\frac{AH}{BH}$, откуда
$BH=\frac{OM\cdot AH}{AM}=\frac{r\cdot5r}{r\sqrt{15}}=\frac{r\sqrt{15}}{3}.$
По теореме об отрезках касательных, проведённых к окружности из одной точки $BM=BH=\frac{r\sqrt{15}}{3}$. Следовательно,
$\frac{BM}{AM}=\frac{\frac{r\sqrt{15}}{3}}{r\sqrt{15}}=\frac{1}{3}.$
Вневписанная окружность равнобедренного треугольника касается его боковой стороны.
а) Докажите, что радиус этой окружности равен высоте треугольника, опущенной на основание.
б) Известно, что радиус этой окружности в пять раз больше радиуса вписанной окружности треугольника. В каком отношении точка касания вписанной окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону?
Решение:
а) Пусть вписанная окружность с центром $O$ касается боковой стороны $AB$ и основания $BC$ равнобедренного треугольника $ABC$ в точках $M$ и $H$ (рис.1), а окружность с центром $O_{1}$ касается боковой стороны $AB$, продолжения основания $BC$ в точке $D$ и продолжения боковой стороны $AC$ в точке $E$. Тогда $AH$ - высота треугольника $ABC$.
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому $AO_{1}$ - биссектриса угла $BAE$. В четырёхугольнике $AHDO_{1}$ угол $HAO_{1}$ - прямой как угол между биссектрисами смежных углов $BAC$ и $BAE$, а т.к. $\angle HDO_{1}=\angle AHD=90^{\circ}$, то $AHDO_{1}$ - прямоугольник, поэтому $O_{1}D=AH$.
б) Пусть радиус окружности с центром $O$ равен $r$ (рис.2). Тогда радиус окружности с центром $O_{1}$ равен $5r$.
$AH=O_{1}D=5r,~OA=AH-OH=5r-r=4r.$
Из прямоугольного треугольника $AOM$ находим, что
$AM=\sqrt{AO^{2}-OM^{2}}=\sqrt{16r^{2}-r^{2}}=r\sqrt{15}.$
Прямоугольные треугольники $AOM$ и $ABH$ подобны по двум углам, поэтому $\frac{AM}{OM}=\frac{AH}{BH}$, откуда
$BH=\frac{OM\cdot AH}{AM}=\frac{r\cdot5r}{r\sqrt{15}}=\frac{r\sqrt{15}}{3}.$
По теореме об отрезках касательных, проведённых к окружности из одной точки $BM=BH=\frac{r\sqrt{15}}{3}$. Следовательно,
$\frac{BM}{AM}=\frac{\frac{r\sqrt{15}}{3}}{r\sqrt{15}}=\frac{1}{3}.$
