ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2014-02-26   
Пусть #a, b, c# "” неотрицательные целые числа, причем #ab \geq c^{2}.# Доказать, что существует натуральное число #n# и целые числа #x_{1}, \cdots, x_{n}, y_{1}, \cdots, y_{n}# такие, что #\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2} = a, \sum_{i=1}^{n}y_{i}^{2} = b, \sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=c.#


Решение:


Докажем утверждение индукцией по #a + b.# Основание при #a + b = 0# очевидно. Предположим, что при #a + b \leq N # утверждение справедливо. Пусть #a + b = N + 1# и для определенности #a \geq b.# Если #c \leq b,# то векторы #x = (\underbrace{1, \cdots, 1}_{c},\underbrace{0, \cdots, 0}_{a-c},\underbrace{1, \cdots, 1}_{b-c})# и #y = (\underbrace{1, \cdots, 1}_{c},\underbrace{0, \cdots, 0}_{a-c},\underbrace{1, \cdots, 1}_{b-c})# удовлетворяют условиям задачи. Пусть теперь #a \geq c \geq b# (случай #c > a# невозможен). Числа #a_{0} = a + b - 2c, b_{0} = b, c_{0} = c - b# являются неотрицательными, т.к. #a + b - 2c \geq 2 \sqrt{ab} - 2c \geq 0,# и #a_{0}b_{0} \geq c_{0}^{2}.# При этом #a_{0} + b_{0} < a + b = N + 1,# т.е. #a_{0} + b_{0} \leq N,# В силу предположения индукции решение #{x, y}# существует для тройки #(a + b - 2c, b, c - b)# Но тогда #{x + y, y}# является решением для #(a,b,c).#