Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 680
2014-02-26 
Пусть спектр матрицы порядка #n# #A(x) = B(x) + \frac{C}{x}# ограничен на интервале #x \in (0,1),# матрица #C# "” постоянная, а элементы матрицы #B(x)# ограничены на отрезке #[0,1]# Доказать, что матрица #C# "” нильпотентная (т.е. #\exists k \in \mathbf{N}:# #C^{k} = 0).# ).
Решение:
Из условия следует, что коэффициенты #q_{i}(x)# характеристического многочлена #P(\lambda) = det (\lambda E - A(x)) = \lambda^{n} + q_{1}(x)\lambda^{n-1} + \cdots + q_{n}(x)# ограничены на интервале #(0,1).# Из теоремы Гамильтона "” Кэли следует, что #P(A(x)) = \frac{C^{n}}{x^{n}} + \frac{D_{1}(x)}{x^{n-1}} + \cdots + D_{n}(x)=0,# причем элементы всех матриц #D_{i}(x)# ограничены на интервале #(0,1).# Поэтому #C^{n} = lim_{x \rightarrow + 0} (- x D_{1}(x) - \cdots - x^{n} D_{n](x)) = 0.#
Пусть спектр матрицы порядка #n# #A(x) = B(x) + \frac{C}{x}# ограничен на интервале #x \in (0,1),# матрица #C# "” постоянная, а элементы матрицы #B(x)# ограничены на отрезке #[0,1]# Доказать, что матрица #C# "” нильпотентная (т.е. #\exists k \in \mathbf{N}:# #C^{k} = 0).# ).
Решение:
Из условия следует, что коэффициенты #q_{i}(x)# характеристического многочлена #P(\lambda) = det (\lambda E - A(x)) = \lambda^{n} + q_{1}(x)\lambda^{n-1} + \cdots + q_{n}(x)# ограничены на интервале #(0,1).# Из теоремы Гамильтона "” Кэли следует, что #P(A(x)) = \frac{C^{n}}{x^{n}} + \frac{D_{1}(x)}{x^{n-1}} + \cdots + D_{n}(x)=0,# причем элементы всех матриц #D_{i}(x)# ограничены на интервале #(0,1).# Поэтому #C^{n} = lim_{x \rightarrow + 0} (- x D_{1}(x) - \cdots - x^{n} D_{n](x)) = 0.#
