Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 679
2014-02-26 
Пусть #A = (a_{ij})# "” невырожденная матрица порядка #n, a_{ij} > 0 \forall i,j.# Доказать, что #z_{n} \leq n^{2} - 2n,# где #z_{n}# "” число нулевых элементов в матрице #A^{-1}.#
Решение:
Пусть #A^{-1} = (b_{ik}).# Тогда #\sum_{k=1}^{n} b_{ik}a_{kj} = 0# при #i \neq j,# а так как #a_{kj} > 0,# то среди элементов #i#-й строки матрицы #A^{-1}# есть по крайней мере два ненулевых. Следовательно, всего ненулевых элементов не менее, чем #2n# и отсюда #z_{n} \leq n^{2} - 2n.#
Пусть #A = (a_{ij})# "” невырожденная матрица порядка #n, a_{ij} > 0 \forall i,j.# Доказать, что #z_{n} \leq n^{2} - 2n,# где #z_{n}# "” число нулевых элементов в матрице #A^{-1}.#
Решение:
Пусть #A^{-1} = (b_{ik}).# Тогда #\sum_{k=1}^{n} b_{ik}a_{kj} = 0# при #i \neq j,# а так как #a_{kj} > 0,# то среди элементов #i#-й строки матрицы #A^{-1}# есть по крайней мере два ненулевых. Следовательно, всего ненулевых элементов не менее, чем #2n# и отсюда #z_{n} \leq n^{2} - 2n.#
