Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 678
2014-02-26 
Пусть #x. \phi_{1}, \cdots, \phi_{n}# "” элементы евклидова пространства, #c_{1}, \cdots, c_{n}# "” произвольные вещественные числа. Доказать неравенство #\left ( \sum_{i=1}^{n} c_{i}(x, \phi_{i}) \right )^{2} \leq \left ( sum_{i=1}^{n} c_{i}^{2} \right )^{2} (x,x) \left ( max_{1 \leq i \leq n} \sum_{j=1}^{n} |(\phi_{i}, \phi_{j})| \right ).#
Решение:
Имеем оценку #\left ( \sum_{i=1}^{n} c_{i}(x, \phi_{i}) \right )^{2} = \left (x, \sum_{i=1}^{n} c_{i} \phi_{i} \right )^{2} \leq (x,x) \cdot \left ( \sum_{i=1}^{n} c_{i} \phi_{i}, \sum_{j=1}^{n} c_{j} \phi_{j} \right ) = (x, x) \sum_{i,j} c_{i}c_{j} (\phi_{i}, \phi_{j}) \leq \frac{1}{2} (x,x) \sum_{i,j} (c_{i}^{2} + c_{j}^{2}) |(\phi_{i}, \phi_{j})| \leq (x,x) \left ( \sum_{i=1}^{n} c_{i}^{2} \right ) \left ( max_{1 \leq i \leq n} \sum_{j=1}^{m} |(phi_{i}, \phi_{j})| \right ).#
Пусть #x. \phi_{1}, \cdots, \phi_{n}# "” элементы евклидова пространства, #c_{1}, \cdots, c_{n}# "” произвольные вещественные числа. Доказать неравенство #\left ( \sum_{i=1}^{n} c_{i}(x, \phi_{i}) \right )^{2} \leq \left ( sum_{i=1}^{n} c_{i}^{2} \right )^{2} (x,x) \left ( max_{1 \leq i \leq n} \sum_{j=1}^{n} |(\phi_{i}, \phi_{j})| \right ).#
Решение:
Имеем оценку #\left ( \sum_{i=1}^{n} c_{i}(x, \phi_{i}) \right )^{2} = \left (x, \sum_{i=1}^{n} c_{i} \phi_{i} \right )^{2} \leq (x,x) \cdot \left ( \sum_{i=1}^{n} c_{i} \phi_{i}, \sum_{j=1}^{n} c_{j} \phi_{j} \right ) = (x, x) \sum_{i,j} c_{i}c_{j} (\phi_{i}, \phi_{j}) \leq \frac{1}{2} (x,x) \sum_{i,j} (c_{i}^{2} + c_{j}^{2}) |(\phi_{i}, \phi_{j})| \leq (x,x) \left ( \sum_{i=1}^{n} c_{i}^{2} \right ) \left ( max_{1 \leq i \leq n} \sum_{j=1}^{m} |(phi_{i}, \phi_{j})| \right ).#
