Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 677
2014-02-26 
Доказать, что при #n \geq 2# все положительные корни многочлена #P(x) = x^{n} - \sum_{k=0}^{n-1}x^{k}# лежат на интервале # \left ( 2 - \frac{1}{2^{n-1}}, 2 - \frac{1}{2^{n}} \right ).#
Решение:
При #x \neq 1 P(x) = \frac{x^{n+1} - 2x^{n} + 1}{x -1}.# Ð ассмотрим многочлен #Q(x) = x^{n+1} - 2 x^{n} + 1# при #x > 0# Так как #Q(0) = Q(2) = 1, Q(1)=0# и #Q^{\prime}(x) = x^{n-1}[(n+1)x - 2n],# то второй положительный корень многочлена #Q(x)# лежит на интервале #\left ( \frac{2n}{n + 2}, 2 \right ).# Точнее, этот корень лежит на интервале #\left ( 2 - \frac{1}{2^{n-1}}, 2 - \frac{1}{2^{n}} \right ),# поскольку #Q \left ( 2 - \frac{1}{2^{n-1}} \right ) = -2 \left ( 1 - \frac{1}{2^{n}} \right )^{n} + 1 < -2 \left ( 1 - \frac{n}{2^{n}} \right ) + 1 \leq -2 \cdot \frac{1}{2} + 1 = 0 \text{а} Q \left ( 2 - \frac{1}{2^{n}} \right ) = - \left ( 1 - \frac{2}{2^{n+1}} \right )^{n} + 1 > 0.#
Доказать, что при #n \geq 2# все положительные корни многочлена #P(x) = x^{n} - \sum_{k=0}^{n-1}x^{k}# лежат на интервале # \left ( 2 - \frac{1}{2^{n-1}}, 2 - \frac{1}{2^{n}} \right ).#
Решение:
При #x \neq 1 P(x) = \frac{x^{n+1} - 2x^{n} + 1}{x -1}.# Ð ассмотрим многочлен #Q(x) = x^{n+1} - 2 x^{n} + 1# при #x > 0# Так как #Q(0) = Q(2) = 1, Q(1)=0# и #Q^{\prime}(x) = x^{n-1}[(n+1)x - 2n],# то второй положительный корень многочлена #Q(x)# лежит на интервале #\left ( \frac{2n}{n + 2}, 2 \right ).# Точнее, этот корень лежит на интервале #\left ( 2 - \frac{1}{2^{n-1}}, 2 - \frac{1}{2^{n}} \right ),# поскольку #Q \left ( 2 - \frac{1}{2^{n-1}} \right ) = -2 \left ( 1 - \frac{1}{2^{n}} \right )^{n} + 1 < -2 \left ( 1 - \frac{n}{2^{n}} \right ) + 1 \leq -2 \cdot \frac{1}{2} + 1 = 0 \text{а} Q \left ( 2 - \frac{1}{2^{n}} \right ) = - \left ( 1 - \frac{2}{2^{n+1}} \right )^{n} + 1 > 0.#
