Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 676
2014-02-26 
Найти #lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{n}},# если #a_{1} = a > 0, a_{2} = a^{2},# #a_{n} = \sum_{i=1}^{n-1}a_{i}a_{n-i}# при #n \geq 3.#
Решение:
Ð ассмотрим формальный степенной ряд #f(z) =# #= \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}z^{n}# Тогда #f(z) = \sum_{n=1}^{\infty} \left ( \sum_{i=1}^{n-1} a_{i}a_{n-i} \right ) z^{n} = a_{1}z + f^{2}(z).# Отсюда с учетом условия #f(0) = 0# находим #f(z) = \frac{1 - \sqrt{1 - 4 az}}{2}.# Ð адиус сходимости ряда Тейлора функции #f(z)# в нуле равен #\frac{1}{4a},# поэтому #lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{n}} = 4a.#
Найти #lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{n}},# если #a_{1} = a > 0, a_{2} = a^{2},# #a_{n} = \sum_{i=1}^{n-1}a_{i}a_{n-i}# при #n \geq 3.#
Решение:
Ð ассмотрим формальный степенной ряд #f(z) =# #= \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}z^{n}# Тогда #f(z) = \sum_{n=1}^{\infty} \left ( \sum_{i=1}^{n-1} a_{i}a_{n-i} \right ) z^{n} = a_{1}z + f^{2}(z).# Отсюда с учетом условия #f(0) = 0# находим #f(z) = \frac{1 - \sqrt{1 - 4 az}}{2}.# Ð адиус сходимости ряда Тейлора функции #f(z)# в нуле равен #\frac{1}{4a},# поэтому #lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{n}} = 4a.#
