Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 675
2015-02-14 
Пусть #f \in C^{n+1}(\mathbf{R})# и #ln \left ( \frac{f(b) + f^{\prime}(b) + \cdots + f^{(n)}(b)}{f(a) + f^{\prime}(a) + \cdots + f^{(n)}(a)} \right ) = b - a,#
где #a < b# Доказать, что найдется #c \in (a,b)# такое, что
#f^{(n+1)}(c) = f(c).#
Решение:
Пусть #g(x) = \sum_{k=0}^{n} f^{(k)}(x),# тогда #g(b) = g(a)e^{b - a}.# Применим к функции #h(x) = e^{-x}g(x)# теорему Ð олля на отрезке
#[a, b] : \exists c \in (a, b)# такое, что #h^{\prime}(c) = - e^{-c} g(c) + e^{-c} g^{\prime}(c) = 0.#
Следовательно, #g^{\prime} (c) = g(c).#
Пусть #f \in C^{n+1}(\mathbf{R})# и #ln \left ( \frac{f(b) + f^{\prime}(b) + \cdots + f^{(n)}(b)}{f(a) + f^{\prime}(a) + \cdots + f^{(n)}(a)} \right ) = b - a,#
где #a < b# Доказать, что найдется #c \in (a,b)# такое, что
#f^{(n+1)}(c) = f(c).#
Решение:
Пусть #g(x) = \sum_{k=0}^{n} f^{(k)}(x),# тогда #g(b) = g(a)e^{b - a}.# Применим к функции #h(x) = e^{-x}g(x)# теорему Ð олля на отрезке
#[a, b] : \exists c \in (a, b)# такое, что #h^{\prime}(c) = - e^{-c} g(c) + e^{-c} g^{\prime}(c) = 0.#
Следовательно, #g^{\prime} (c) = g(c).#
