Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 671
2014-02-26 
Определим сумму двух множеств на евклидовой плоскости: #A + B = {x \in \mathbf{R}^{2} | x = a + b, a \in A, b \in B}.# Пусть #A = B_{r}(a) \bigcap B_{r}(-a),# где #B_{r}(a) = {x \in \mathbf{R}^{2} | \| x - a \| \leq r}# "” круг радиуса #r > 0# с центром в точке #a, \| a \| < r.# Доказать что найдутся такие точки #b_{1}# и #b_{2},# что #A + (B_{r}(b_{1}) \bigcap B_{r}(b_{2})) = B_{r}(0).# (*)
Решение:
Пусть #b# #- b# "” точки пересечения окружностей ее Тогда равенство (*) выполнено для #\| x \pm a \| = r.# Легко видеть, что если #b_{1} = b, b_{2} = - b.# "” единичный вектор, то #p \in \mathbf{R}^{2}# (**) Следовательно, #max{(p,x) | x \in A} + max{(p,x) | x \in B_{r}(b) \bigcap B_{r}(-b)} = r.# где #max{(p,x) | x \in C} = max{(p,x) | x \in B_{r}(0)},# Поскольку #C = A + B_{r}(b) \bigcap B_{r}(-b).# есть выпуклый компакт, то #C = B_{r}(0).# Действительно, допустим, что существует точка #x_{0} \in C \backslash B_{r}(0).# Пусть #b_{0}# "” метрическая проекция #x_{0}# на #B_{r}(0), p_{0} = \frac{x_{0}-b_{0}}{\| x_{0} - b_{0} \|}.# Если допустить, что для некоторой точки #b \in B_{r}(0) (p_{0}, b - b_{0}) > 0,# то в силу выпуклости #B_{r}(0)# для любого #\lambda \in (0, 1) \lambda b + (1 - \lambda) b_{0} \in B_{r}(0)# и #\| x_{0} - (\lambda b + (1 - \lambda) b_{0}) \|^{2} = \| x_{0} - b_{0} \|^{2} - 2 \lambda (x_{0} - b_{0}, b - b_{0}) + \lambda^{2} \| b - b_{0} \|^{2} <# #< \| x_{0} - b_{0} \|^{2}# #\lambda > 0.# при малых #(p_{0}, b - b_{0}) \leq 0# Таким образом, #\forall b \in B_{r}(0), \text{а} (p_{0}, x_{0}) > (p_{0}, b_{0}).# #B_{r}(0) \backalash C \neq \emptyset# Это противоречит формуле (**). Ðналогично показывается, что равенство ее невозможно. Следовательно, #C = B_{r}(0).#
Определим сумму двух множеств на евклидовой плоскости: #A + B = {x \in \mathbf{R}^{2} | x = a + b, a \in A, b \in B}.# Пусть #A = B_{r}(a) \bigcap B_{r}(-a),# где #B_{r}(a) = {x \in \mathbf{R}^{2} | \| x - a \| \leq r}# "” круг радиуса #r > 0# с центром в точке #a, \| a \| < r.# Доказать что найдутся такие точки #b_{1}# и #b_{2},# что #A + (B_{r}(b_{1}) \bigcap B_{r}(b_{2})) = B_{r}(0).# (*)
Решение:
Пусть #b# #- b# "” точки пересечения окружностей ее Тогда равенство (*) выполнено для #\| x \pm a \| = r.# Легко видеть, что если #b_{1} = b, b_{2} = - b.# "” единичный вектор, то #p \in \mathbf{R}^{2}# (**) Следовательно, #max{(p,x) | x \in A} + max{(p,x) | x \in B_{r}(b) \bigcap B_{r}(-b)} = r.# где #max{(p,x) | x \in C} = max{(p,x) | x \in B_{r}(0)},# Поскольку #C = A + B_{r}(b) \bigcap B_{r}(-b).# есть выпуклый компакт, то #C = B_{r}(0).# Действительно, допустим, что существует точка #x_{0} \in C \backslash B_{r}(0).# Пусть #b_{0}# "” метрическая проекция #x_{0}# на #B_{r}(0), p_{0} = \frac{x_{0}-b_{0}}{\| x_{0} - b_{0} \|}.# Если допустить, что для некоторой точки #b \in B_{r}(0) (p_{0}, b - b_{0}) > 0,# то в силу выпуклости #B_{r}(0)# для любого #\lambda \in (0, 1) \lambda b + (1 - \lambda) b_{0} \in B_{r}(0)# и #\| x_{0} - (\lambda b + (1 - \lambda) b_{0}) \|^{2} = \| x_{0} - b_{0} \|^{2} - 2 \lambda (x_{0} - b_{0}, b - b_{0}) + \lambda^{2} \| b - b_{0} \|^{2} <# #< \| x_{0} - b_{0} \|^{2}# #\lambda > 0.# при малых #(p_{0}, b - b_{0}) \leq 0# Таким образом, #\forall b \in B_{r}(0), \text{а} (p_{0}, x_{0}) > (p_{0}, b_{0}).# #B_{r}(0) \backalash C \neq \emptyset# Это противоречит формуле (**). Ðналогично показывается, что равенство ее невозможно. Следовательно, #C = B_{r}(0).#
