Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 670
2014-02-26 
Доказать, что при #x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1# справедливо неравенство #\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \\ x^{2} & y^{2} & z^{2} \end{pmatrix} < 1.#
Решение:
Обозначим определитель через #W.# Достаточно доказать, что #W^{2} < 1.# Имеем #W^{2} = (y - x)^{2}(z - x)^{2}(z - y)^{2} \leq \left ( \frac{(y - x)^{2} + (z - x)^{2} + (z - y)^{2}}{3} \right ) \leq# #\leq \left ( \frac{3(x^{2} + y^{2} + z^{2})}{3} \right )^{3} = 1,# причем первое неравенсто превращается в равенство только при #x = y =z,# а тогда #W = 0.#
Доказать, что при #x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1# справедливо неравенство #\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \\ x^{2} & y^{2} & z^{2} \end{pmatrix} < 1.#
Решение:
Обозначим определитель через #W.# Достаточно доказать, что #W^{2} < 1.# Имеем #W^{2} = (y - x)^{2}(z - x)^{2}(z - y)^{2} \leq \left ( \frac{(y - x)^{2} + (z - x)^{2} + (z - y)^{2}}{3} \right ) \leq# #\leq \left ( \frac{3(x^{2} + y^{2} + z^{2})}{3} \right )^{3} = 1,# причем первое неравенсто превращается в равенство только при #x = y =z,# а тогда #W = 0.#
