Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 669
2014-02-26 
Найти предел #lim_{n \rightarrow \infty} \left ( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{C_{n}^{k}} \right )^{n}.#
Решение:
Пусть #a_{n} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{C_{n}^{k}}.# Тогда при достаточно больших значениях #n# #a_{n} > \frac{1}{C_{n}^{1}} + \frac{1}{C_{n}^{n-1}} + \frac{1}{C_{n}^{n}} = 1 + \frac{2}{n},# #a_{n} < 1 + \frac{2}{C_{n}^{1}} + \frac{2}{C_{n}^{2}} + \frac{n- 5}{C_{n}^{3}} < 1 + \frac{2}{n} + \frac{1995}{n^{2}}.# Следовательно, #lim_{n \rightarrow \infty} a_{n}^{n} = e^{2}.#
Найти предел #lim_{n \rightarrow \infty} \left ( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{C_{n}^{k}} \right )^{n}.#
Решение:
Пусть #a_{n} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{C_{n}^{k}}.# Тогда при достаточно больших значениях #n# #a_{n} > \frac{1}{C_{n}^{1}} + \frac{1}{C_{n}^{n-1}} + \frac{1}{C_{n}^{n}} = 1 + \frac{2}{n},# #a_{n} < 1 + \frac{2}{C_{n}^{1}} + \frac{2}{C_{n}^{2}} + \frac{n- 5}{C_{n}^{3}} < 1 + \frac{2}{n} + \frac{1995}{n^{2}}.# Следовательно, #lim_{n \rightarrow \infty} a_{n}^{n} = e^{2}.#
