Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 668
2014-02-26 
Пусть #f_{1}, \cdots, f_{n}# - линейно независимая система непрерывно дифференцируемых на отрезке #[0, 1]# функций. Доказать, что среди производных #f_{1}^{\prime}, \cdots, f_{n}^{\prime}# найдутся #n - 1# линейно независимых функций.
Решение:
Пусть #f_{1}^{\prime}, \cdots, f_{n}^{\prime}# линейно зависимы (в противном случае все ясно) и, например, #c_{1}f_{1}^{\prime} + \cdots + c_{n-1}f_{n-1}^{\prime} = f_{n}^{\prime}.# Тогда #c_{1}f_{1} + \cdots + c_{n-1}f_{n-1} + c = f_{n},# где #c \neq 0# в силу линейной независимости системы #{f_{k}}_{k=1}^{n}.# Покажем, что функции #{f_{k}^{\prime}}_{k=1}^{n-1}# линейно независимы. Если #a_{1}f_{1}^{\prime} + \cdots + a_{n-1}f_{n-1}^{\prime} = 0,# то #a_{1}f_{1} + \cdots + a_{n-1}f_{n-1} + A = 0, A = const.# Отсюда #(Ac_{1} - ca_{1})f_{1} + \cdots + (Ac_{n-1} - ca_{n-1})f_{n-1} = Af_{n}.# Следовательно, #A = 0,# а тогда и #a_{k} = 0# при #1 \leq k \leq n - 1.#
Пусть #f_{1}, \cdots, f_{n}# - линейно независимая система непрерывно дифференцируемых на отрезке #[0, 1]# функций. Доказать, что среди производных #f_{1}^{\prime}, \cdots, f_{n}^{\prime}# найдутся #n - 1# линейно независимых функций.
Решение:
Пусть #f_{1}^{\prime}, \cdots, f_{n}^{\prime}# линейно зависимы (в противном случае все ясно) и, например, #c_{1}f_{1}^{\prime} + \cdots + c_{n-1}f_{n-1}^{\prime} = f_{n}^{\prime}.# Тогда #c_{1}f_{1} + \cdots + c_{n-1}f_{n-1} + c = f_{n},# где #c \neq 0# в силу линейной независимости системы #{f_{k}}_{k=1}^{n}.# Покажем, что функции #{f_{k}^{\prime}}_{k=1}^{n-1}# линейно независимы. Если #a_{1}f_{1}^{\prime} + \cdots + a_{n-1}f_{n-1}^{\prime} = 0,# то #a_{1}f_{1} + \cdots + a_{n-1}f_{n-1} + A = 0, A = const.# Отсюда #(Ac_{1} - ca_{1})f_{1} + \cdots + (Ac_{n-1} - ca_{n-1})f_{n-1} = Af_{n}.# Следовательно, #A = 0,# а тогда и #a_{k} = 0# при #1 \leq k \leq n - 1.#
