Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 667
2014-02-26 
Существует ли непрерывно дифференцируемая функция #f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R},# удовлетворяющая условию #|f(x)| < 2, f(x)f^{\prime}(x) \geq \sin x, \forall x \in \mathbf{R}?#
Решение:
Не существует. Имеем #f^{2}(x) - f^{2}(0) = \int_{0}^{x} 2 f(t)f^{\prime}(t)dt \geq 2 \int_{0}^{x} \sin t dt = 2 (1 - \cos x),# следовательно, #f^{2}(\pi) \geq 4.#
Существует ли непрерывно дифференцируемая функция #f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R},# удовлетворяющая условию #|f(x)| < 2, f(x)f^{\prime}(x) \geq \sin x, \forall x \in \mathbf{R}?#
Решение:
Не существует. Имеем #f^{2}(x) - f^{2}(0) = \int_{0}^{x} 2 f(t)f^{\prime}(t)dt \geq 2 \int_{0}^{x} \sin t dt = 2 (1 - \cos x),# следовательно, #f^{2}(\pi) \geq 4.#
