Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 6669
2021-11-14 
Дан параллелограмм $ABCD$. Окружности, вписанные в треугольники $ABD$ и $BDC$, касаются диагонали $BD$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Окружности, вписанные в треугольники $ABC$ и $ADC$ касаются диагонали $AC$ в точках $K$ и $L$ соответственно.
а) Докажите, что $MKNL$ - прямоугольник.
б) Найдите его площадь, если известно, что $BC-AB=4$, а угол между диагоналями параллелограмма $ABCD$ равен $30^{\circ}$.
Решение:
а) Пусть $ABCD$ - параллелограмм (рис.1), в котором $AB\lt BC$, $M$ и $N$ - точки касания с диагональю $BD$ вписанных окружностей равных треугольников $ABD$ и $BDC$ соответственно, $K$ и $L$ - точки касания с диагональю $AC$ вписанных окружностей равных треугольников $ABC$ и $ADC$ соответственно, $O$ - точка пересечения диагоналей параллелограмма.
Точка $O$ - центр симметрии параллелограмма, поэтому $OM=ON$ и $OK=OL$, значит, $MKNL$ - параллелограмм.
Докажем, что $MN=KL$. Действительно, для вписанной окружности треугольника $ABD$ известно, что $BM=\frac{AB+BD-AD}{2}$ (см. задачу 4014), а т.к. $DN=BM$, то
$MN=BD-2BM=BD-(AB+BD-AD)=AD-AB.$
Аналогично, $KL=AD-AB$. Что и требовалось доказать.
Таким образом, диагонали параллелограмма $MKNL$ равны, следовательно, это прямоугольник.
б) Диагонали прямоугольника $MKNL$ равны $AD-AB=BC-AB=4$ (рис.2), а угол между ними равен $30^{\circ}$, следовательно,
$S_{MKNL}=\frac{1}{2}MN\cdot KL\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}\cdot16\cdot\frac{1}{2}=4.$
Дан параллелограмм $ABCD$. Окружности, вписанные в треугольники $ABD$ и $BDC$, касаются диагонали $BD$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Окружности, вписанные в треугольники $ABC$ и $ADC$ касаются диагонали $AC$ в точках $K$ и $L$ соответственно.
а) Докажите, что $MKNL$ - прямоугольник.
б) Найдите его площадь, если известно, что $BC-AB=4$, а угол между диагоналями параллелограмма $ABCD$ равен $30^{\circ}$.
Решение:
а) Пусть $ABCD$ - параллелограмм (рис.1), в котором $AB\lt BC$, $M$ и $N$ - точки касания с диагональю $BD$ вписанных окружностей равных треугольников $ABD$ и $BDC$ соответственно, $K$ и $L$ - точки касания с диагональю $AC$ вписанных окружностей равных треугольников $ABC$ и $ADC$ соответственно, $O$ - точка пересечения диагоналей параллелограмма.
Точка $O$ - центр симметрии параллелограмма, поэтому $OM=ON$ и $OK=OL$, значит, $MKNL$ - параллелограмм.
Докажем, что $MN=KL$. Действительно, для вписанной окружности треугольника $ABD$ известно, что $BM=\frac{AB+BD-AD}{2}$ (см. задачу 4014), а т.к. $DN=BM$, то
$MN=BD-2BM=BD-(AB+BD-AD)=AD-AB.$
Аналогично, $KL=AD-AB$. Что и требовалось доказать.
Таким образом, диагонали параллелограмма $MKNL$ равны, следовательно, это прямоугольник.
б) Диагонали прямоугольника $MKNL$ равны $AD-AB=BC-AB=4$ (рис.2), а угол между ними равен $30^{\circ}$, следовательно,
$S_{MKNL}=\frac{1}{2}MN\cdot KL\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}\cdot16\cdot\frac{1}{2}=4.$
