Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 663
2014-02-26 
Доказать, что дифференциальное уравнение #\sum_{k=0}^{n} c_{k}x^{k+1} (x^{k-1}y)^{(k)} = 0# сводится к линейному дифференциальному уравнению с помощью замены #t = x^{-1}# и выписать это уравнение.
Решение:
Пусть #D = \frac{d}{dx}# "” оператор дифференцирования. Справедливо тождество #x^{n+1}D^{n}x^{n-1} = (x^{2}D)^{n}.# (*) Докажем (*) по индукции. При #n = 1# равенство справедливо. При переходе от #n# к #n + 1# имеем #x^{n+2}D^{n+1}x^{n}y = x^{n+2}D^{n+1}(x \cdot x^{n-1}y) = x^{n+2} ((n+1)D^{n}x^{n-1}y + xD^{n+1}x^{n-1}y), \allowbreak (x^{2}D)^{n+1}y = x^{2}D(x^{2}D)^{n}y = x^{2}D(x^{n+1}D^{n}x^{n-1}) = x^{2} ((n+1)x^{n}D^{n}x^{n-1}y + x^{n-1}D^{n+1}x^{n-1}y),# откуда следует (*). Теперь можно преобразовать исходное уравнение: #\sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k+1}D^{k}x^{k-1}y \equiv \sum_{k=0}^{n}c_{k}(x^{2}D)^{k}y =0,# если #t = x^{-1},# то #x^{2}D = - D_{t}# и уравнение примет вид #\sum_{k=0}^{n} c_{k} (-1)^{k} \frac{d^{k}y}{dy^{k}} = 0.#
Доказать, что дифференциальное уравнение #\sum_{k=0}^{n} c_{k}x^{k+1} (x^{k-1}y)^{(k)} = 0# сводится к линейному дифференциальному уравнению с помощью замены #t = x^{-1}# и выписать это уравнение.
Решение:
Пусть #D = \frac{d}{dx}# "” оператор дифференцирования. Справедливо тождество #x^{n+1}D^{n}x^{n-1} = (x^{2}D)^{n}.# (*) Докажем (*) по индукции. При #n = 1# равенство справедливо. При переходе от #n# к #n + 1# имеем #x^{n+2}D^{n+1}x^{n}y = x^{n+2}D^{n+1}(x \cdot x^{n-1}y) = x^{n+2} ((n+1)D^{n}x^{n-1}y + xD^{n+1}x^{n-1}y), \allowbreak (x^{2}D)^{n+1}y = x^{2}D(x^{2}D)^{n}y = x^{2}D(x^{n+1}D^{n}x^{n-1}) = x^{2} ((n+1)x^{n}D^{n}x^{n-1}y + x^{n-1}D^{n+1}x^{n-1}y),# откуда следует (*). Теперь можно преобразовать исходное уравнение: #\sum_{k=0}^{n}c_{k}x^{k+1}D^{k}x^{k-1}y \equiv \sum_{k=0}^{n}c_{k}(x^{2}D)^{k}y =0,# если #t = x^{-1},# то #x^{2}D = - D_{t}# и уравнение примет вид #\sum_{k=0}^{n} c_{k} (-1)^{k} \frac{d^{k}y}{dy^{k}} = 0.#
