Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 661
2014-02-26 
Пусть #\phi_{1}(x), \cdots, \phi_{n}(x)# "” ортонормированная на отрезке #[0,1]# система непрерывных функций. Доказать, что хотя бы для одной функции #\phi_{i} (i = 1, \cdots, n)# справедливо неравенство #\sum_{k=1}^{n} \left ( \int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}} \phi_{i}(x)dx \right )^{2} \leq \frac{1}{n}#
Решение:
Применим неравенство Бесселя для характеристических функций #\aleph_{k}(x)# отрезков #\left [ \frac{k-1}{n} , \frac{k}{n} \right ]#, где #\aleph_{k}(x) = 1# при #x \in \left [ \frac{k-1}{n} , \frac{k}{n} \right ]# и #\aleph_{k}(x) = 0# при #x \not \in \left [ \frac{k-1}{n} , \frac{k}{n} \right ]# #\sum_{i=1}^{n} (\aleph_{k}, \phi_{i})^{2} \leq (\aleph_{k}, \aleph_{k}) = \frac{1}{n}, k = 1, \cdots, n.# Следовательно, #\sum_{k=1}^{n} \sum_{i=1}^{n} (\aleph_{k}, \phi_{i})^{2} = \sum_{i=1}^{n} \left ( \sum_{k=1}^{n} (\aleph_{k}, \phi_{i})^{2} \right ) \leq 1,# а потому найдется #i: \sum_{k=1}^{n} (\aleph_{k}, \phi_{i})^{2} \leq \frac{1}{n}.#
Пусть #\phi_{1}(x), \cdots, \phi_{n}(x)# "” ортонормированная на отрезке #[0,1]# система непрерывных функций. Доказать, что хотя бы для одной функции #\phi_{i} (i = 1, \cdots, n)# справедливо неравенство #\sum_{k=1}^{n} \left ( \int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}} \phi_{i}(x)dx \right )^{2} \leq \frac{1}{n}#
Решение:
Применим неравенство Бесселя для характеристических функций #\aleph_{k}(x)# отрезков #\left [ \frac{k-1}{n} , \frac{k}{n} \right ]#, где #\aleph_{k}(x) = 1# при #x \in \left [ \frac{k-1}{n} , \frac{k}{n} \right ]# и #\aleph_{k}(x) = 0# при #x \not \in \left [ \frac{k-1}{n} , \frac{k}{n} \right ]# #\sum_{i=1}^{n} (\aleph_{k}, \phi_{i})^{2} \leq (\aleph_{k}, \aleph_{k}) = \frac{1}{n}, k = 1, \cdots, n.# Следовательно, #\sum_{k=1}^{n} \sum_{i=1}^{n} (\aleph_{k}, \phi_{i})^{2} = \sum_{i=1}^{n} \left ( \sum_{k=1}^{n} (\aleph_{k}, \phi_{i})^{2} \right ) \leq 1,# а потому найдется #i: \sum_{k=1}^{n} (\aleph_{k}, \phi_{i})^{2} \leq \frac{1}{n}.#
