Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 659
2014-02-26 
На плоскости даны точки #A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4},# никакие три из которых не лежат на одной прямой. Проведем две концентрические окружности: одну через точки #A_{1}, A_{2}, A_{3},# а другую через точку #A_{4}.# Обозначим через #k(A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4})# произведение площадей треугольника #A_{1}A_{2}A_{3}# и получившегося кругового кольца. Доказать, что величина #k(A_{1},A_{2},A_{3},A_{4})=# зависит от нумерации точек: #= k (A_{2},A_{3},A_{4},A_{1}) = k (A_{3},A_{4},A_{1},A_{2}) = k (A_{4},A_{1},A_{2},A_{3}).# #= k (A_{2},A_{3},A_{4},A_{1}) = k (A_{3},A_{4},A_{1},A_{2}) = k (A_{4},A_{1},A_{2},A_{3}).#
Решение:
Пусть #(x_{i}, y_{i})# "” координаты точек #A_{i}# в некоторой прямоугольной системе координат #Oxy# Ð ассмотрим определитель #\Delta = \begin{pmatrix} 1 & x_{1} & y_{1} & x_{1}^{2} + y_{1}^{2} \\ 1 & x_{2} & y_{2} & x_{2}^{2} + y_{2}^{2} \\ 1 & x_{3} & y_{3} & x_{3}^{2} + y_{3}^{2} \\ 1 & x_{4} & y_{4} & x_{4}^{2} + y_{4}^{2} \\ \end{pmatrix}/# Заметив, что при переносе начала координат #\Delta# не меняется, перенесем начало координат в точку, являющуюся центром концентрических окружностей для разбиения #(A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}).# Тогда в новой системе координат #\Delta = \begin{pmatrix} 1 & x_{1} & y_{1} & r^{2} \\ 1 & x_{2} & y_{2} & r^{2} \\ 1 & x_{3} & y_{3} & r^{2} \\ 1 & x_{4} & y_{4} & r^{2} \\ \end{pmatrix}/ = (R^{2} - r^{2}) \begin{pmatrix} 1 & x_{1} & y_{1} \\ 1 & x_{2} & y_{2} \\ 1 & x_{3} & y_{3} \end{pmatrix},# откуда #|\Delta| = |R^{2} - r^{2}| \cdots 2S_{A_{1}A_{2}A_{3}} = \frac{2}{\pi} k (A_{1}, A_{2},A_{3}, A_{4}).#
На плоскости даны точки #A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4},# никакие три из которых не лежат на одной прямой. Проведем две концентрические окружности: одну через точки #A_{1}, A_{2}, A_{3},# а другую через точку #A_{4}.# Обозначим через #k(A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4})# произведение площадей треугольника #A_{1}A_{2}A_{3}# и получившегося кругового кольца. Доказать, что величина #k(A_{1},A_{2},A_{3},A_{4})=# зависит от нумерации точек: #= k (A_{2},A_{3},A_{4},A_{1}) = k (A_{3},A_{4},A_{1},A_{2}) = k (A_{4},A_{1},A_{2},A_{3}).# #= k (A_{2},A_{3},A_{4},A_{1}) = k (A_{3},A_{4},A_{1},A_{2}) = k (A_{4},A_{1},A_{2},A_{3}).#
Решение:
Пусть #(x_{i}, y_{i})# "” координаты точек #A_{i}# в некоторой прямоугольной системе координат #Oxy# Ð ассмотрим определитель #\Delta = \begin{pmatrix} 1 & x_{1} & y_{1} & x_{1}^{2} + y_{1}^{2} \\ 1 & x_{2} & y_{2} & x_{2}^{2} + y_{2}^{2} \\ 1 & x_{3} & y_{3} & x_{3}^{2} + y_{3}^{2} \\ 1 & x_{4} & y_{4} & x_{4}^{2} + y_{4}^{2} \\ \end{pmatrix}/# Заметив, что при переносе начала координат #\Delta# не меняется, перенесем начало координат в точку, являющуюся центром концентрических окружностей для разбиения #(A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}).# Тогда в новой системе координат #\Delta = \begin{pmatrix} 1 & x_{1} & y_{1} & r^{2} \\ 1 & x_{2} & y_{2} & r^{2} \\ 1 & x_{3} & y_{3} & r^{2} \\ 1 & x_{4} & y_{4} & r^{2} \\ \end{pmatrix}/ = (R^{2} - r^{2}) \begin{pmatrix} 1 & x_{1} & y_{1} \\ 1 & x_{2} & y_{2} \\ 1 & x_{3} & y_{3} \end{pmatrix},# откуда #|\Delta| = |R^{2} - r^{2}| \cdots 2S_{A_{1}A_{2}A_{3}} = \frac{2}{\pi} k (A_{1}, A_{2},A_{3}, A_{4}).#
