Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 658
2014-02-26 
Найти все непрерывные функции #f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R},# удовлетворяющие уравнению #3f(2x + 1) = f(x) + 5x.#
Решение:
Методом неопределенных коэффициентов находим решение в классе линейных функций: #f_{1}(x) = x - \frac{3}{2}.# Покажем, что #f_{1}# "” единственное решение. Пусть #g(x) = f(x) - f_{1}(x),# тогда #g \in C(\mathbf{R})# и удовлетворяет уравнению #3g (2x + 1) = g(x).# Заменим в этом уравнении #x# на #\frac{x-1}{2} : g(x) = \frac{1}{3} g \left ( \frac{x-1}{2} \right ).# В полученном уравнении опять заменим #x# на #\frac{x-1}{2} : g \left ( \frac{x-1}{2} \right ) = \frac{1}{3} g \left ( \frac{x-3}{4} \right )# и т.д. Получим #g(x) = \frac{1}{3^{n}} g \left ( \frac{x - 2^{n} + 1}{2^{n}} \right ), n = 1, 2, \cdots# В силу непрерывности #g# для любого #x# #lim_{n \rightarrow \infty} \left ( \frac{x - 2^{n} + 1}{2^{n}} \right ) = g(-1),# поэтому #g(x) \equiv 0.#
Найти все непрерывные функции #f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R},# удовлетворяющие уравнению #3f(2x + 1) = f(x) + 5x.#
Решение:
Методом неопределенных коэффициентов находим решение в классе линейных функций: #f_{1}(x) = x - \frac{3}{2}.# Покажем, что #f_{1}# "” единственное решение. Пусть #g(x) = f(x) - f_{1}(x),# тогда #g \in C(\mathbf{R})# и удовлетворяет уравнению #3g (2x + 1) = g(x).# Заменим в этом уравнении #x# на #\frac{x-1}{2} : g(x) = \frac{1}{3} g \left ( \frac{x-1}{2} \right ).# В полученном уравнении опять заменим #x# на #\frac{x-1}{2} : g \left ( \frac{x-1}{2} \right ) = \frac{1}{3} g \left ( \frac{x-3}{4} \right )# и т.д. Получим #g(x) = \frac{1}{3^{n}} g \left ( \frac{x - 2^{n} + 1}{2^{n}} \right ), n = 1, 2, \cdots# В силу непрерывности #g# для любого #x# #lim_{n \rightarrow \infty} \left ( \frac{x - 2^{n} + 1}{2^{n}} \right ) = g(-1),# поэтому #g(x) \equiv 0.#
