Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 655
2014-02-26 
Доказать, что при #a>1# справедливо равенство #\int_{0}^{\pi / 2} \cos ax (\cos x)^{a-2} dx = 0.#
Решение:
Требуемый результат получается сразу, если исходный интеграл следующим образом разбить на два интеграла, а затем во втором проинтегрировать по частям: #\int_{0}^{\pi/2} \cos ax (\cos x)^{a-2} dx = \int_{0}^{\pi/2} (\cos (a - 1)x \cos x - \sin (a-1)x \sin x)(\cos x)^{a-2} dx = \int_{0}^{\pi/2} \cos (a-1) x (\cos x)^{a-1} dx + \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin(a-1)x}{a-1} d(\cos x)^{a-1} = \frac{\sin (a - 1)x}{a - 1} \left . (\cos x)^{a-1} \right |_{0}^{\pi /2} = 0.#
Доказать, что при #a>1# справедливо равенство #\int_{0}^{\pi / 2} \cos ax (\cos x)^{a-2} dx = 0.#
Решение:
Требуемый результат получается сразу, если исходный интеграл следующим образом разбить на два интеграла, а затем во втором проинтегрировать по частям: #\int_{0}^{\pi/2} \cos ax (\cos x)^{a-2} dx = \int_{0}^{\pi/2} (\cos (a - 1)x \cos x - \sin (a-1)x \sin x)(\cos x)^{a-2} dx = \int_{0}^{\pi/2} \cos (a-1) x (\cos x)^{a-1} dx + \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin(a-1)x}{a-1} d(\cos x)^{a-1} = \frac{\sin (a - 1)x}{a - 1} \left . (\cos x)^{a-1} \right |_{0}^{\pi /2} = 0.#
