Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 654
2014-02-26 
Можно ли число #\pi# представить как #lim_{n \rightarrow \infty} \left ( \sqrt{k_{n}} - \sqrt{m_{n}} \right ),# где #{k_{n}}# и #{m_{n}}# "” последовательности натуральных чисел?
Решение:
При каждом натуральном n числа #p(\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) = \sqrt{p^{2}(n+1)} - \sqrt{p^{2}n}, p = 1,2, \cdots# образуют арифметическую прогрессию с разностью #d_{n} = \sqrt{n + 1} - \sqrt{n}.# Следовательно, с точностью #d_{n}# ими можно приблизить любое число из #(0, + \infty).# Так как #d_{n} \rightarrow 0# при #n \rightarrow \infty,# то любое число "” в том числе и #\pi# "” можно представить в виде #lim_{n \rightarrow \infty} (\sqrt{k_{n}} - \sqrt{m_{n}}).#
Можно ли число #\pi# представить как #lim_{n \rightarrow \infty} \left ( \sqrt{k_{n}} - \sqrt{m_{n}} \right ),# где #{k_{n}}# и #{m_{n}}# "” последовательности натуральных чисел?
Решение:
При каждом натуральном n числа #p(\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) = \sqrt{p^{2}(n+1)} - \sqrt{p^{2}n}, p = 1,2, \cdots# образуют арифметическую прогрессию с разностью #d_{n} = \sqrt{n + 1} - \sqrt{n}.# Следовательно, с точностью #d_{n}# ими можно приблизить любое число из #(0, + \infty).# Так как #d_{n} \rightarrow 0# при #n \rightarrow \infty,# то любое число "” в том числе и #\pi# "” можно представить в виде #lim_{n \rightarrow \infty} (\sqrt{k_{n}} - \sqrt{m_{n}}).#
