Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 653
2014-02-26 
Известно, что все корни полинома #P(z) = z^{n} + c_{1}z^{n-1} + \cdots + c_{n}# с комплексными коэффициентами "” чисто мнимые. Доказать, что при любом вещественном #x# выполнено неравенство #\left | \frac{2xP^{\prime}(x)}{P(x)} - n \right | \leq n.#
Решение:
Пусть #P(x) = (x - a_{1})^{k_{1}} \cdots (x - a_{m})^{k_{m}},# где #Re a_{s} =# #0# и #\sum_{s=1}^{m} k_{s} = n.# Тогда #\left | \frac{2xP^{\prime}(x)}{P(x)} - n \right | = \left | 2x \sum_{s} \frac{k_{s}}{x - a_{s}} - \sum_{s}k_{s} \right | = \left | \sum_{s}k_{s} \frac{x + a_{s}}{x - a_{s}} \right | \leq \sum_{s}k_{s} \left | \frac{x + a_{s}}{x - a_{s}} \right | = \sum_{s}k_{s} = n.#
Известно, что все корни полинома #P(z) = z^{n} + c_{1}z^{n-1} + \cdots + c_{n}# с комплексными коэффициентами "” чисто мнимые. Доказать, что при любом вещественном #x# выполнено неравенство #\left | \frac{2xP^{\prime}(x)}{P(x)} - n \right | \leq n.#
Решение:
Пусть #P(x) = (x - a_{1})^{k_{1}} \cdots (x - a_{m})^{k_{m}},# где #Re a_{s} =# #0# и #\sum_{s=1}^{m} k_{s} = n.# Тогда #\left | \frac{2xP^{\prime}(x)}{P(x)} - n \right | = \left | 2x \sum_{s} \frac{k_{s}}{x - a_{s}} - \sum_{s}k_{s} \right | = \left | \sum_{s}k_{s} \frac{x + a_{s}}{x - a_{s}} \right | \leq \sum_{s}k_{s} \left | \frac{x + a_{s}}{x - a_{s}} \right | = \sum_{s}k_{s} = n.#
