Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 651
2014-02-26 
Доказать, что функция #T(x) = \frac{a_{0}}{2} + \cos x + \sum_{k=2}^{\infty} a_{k} \cos kx,# где #|a_{0}| < 1,# принимает как положительные, так и отрицательные значения.
Решение:
Ð ассмотрим два интеграла: #I_{\pm} = \int_{0}^{2 \pi} T(x)(1 \pm \cos x) dx = \int_{0}^{2 \pi} \left ( \frac{a_{0}}{2} \pm \cos^{2} x \right ) dx = \pi (a_{0} \pm 1).# Так как #|a_{0}| < 1,# то #I_{+} > 0, I_{-} < 0.# Но если предположить, что #T \geq 0 (\leq 0),# то оба интеграла будут #\geq 0 (\leq 0),# т.к. #1 \pm \cos x \geq 0.# Следовательно, функция #T(x)# принимает значения разных знаков.
Доказать, что функция #T(x) = \frac{a_{0}}{2} + \cos x + \sum_{k=2}^{\infty} a_{k} \cos kx,# где #|a_{0}| < 1,# принимает как положительные, так и отрицательные значения.
Решение:
Ð ассмотрим два интеграла: #I_{\pm} = \int_{0}^{2 \pi} T(x)(1 \pm \cos x) dx = \int_{0}^{2 \pi} \left ( \frac{a_{0}}{2} \pm \cos^{2} x \right ) dx = \pi (a_{0} \pm 1).# Так как #|a_{0}| < 1,# то #I_{+} > 0, I_{-} < 0.# Но если предположить, что #T \geq 0 (\leq 0),# то оба интеграла будут #\geq 0 (\leq 0),# т.к. #1 \pm \cos x \geq 0.# Следовательно, функция #T(x)# принимает значения разных знаков.
