Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 650
2014-02-26 
Существует ли непрерывная функция #f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R},# принимающая рациональные значения в иррациональных точках и иррациональные значения в рациональных точках;
Решение:
Предположим, что такая функция существует. Тогда множество #f(\mathbf{Q})# "” образ счетного множества "” не более чем счетно, как и #f(\mathbf{R} \backslash \mathbf{Q}),# т.к. по условию #f(\mathbf{R} \backslash \mathbf{Q}) \subset \mathbf{Q}.# Следовательно, множество значений функции не более чем счетно и содержит по крайней мере две разные точки. Это противоречит теореме Больцано"”Коши о промежуточных значениях непрерывной функции.
Существует ли непрерывная функция #f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R},# принимающая рациональные значения в иррациональных точках и иррациональные значения в рациональных точках;
Решение:
Предположим, что такая функция существует. Тогда множество #f(\mathbf{Q})# "” образ счетного множества "” не более чем счетно, как и #f(\mathbf{R} \backslash \mathbf{Q}),# т.к. по условию #f(\mathbf{R} \backslash \mathbf{Q}) \subset \mathbf{Q}.# Следовательно, множество значений функции не более чем счетно и содержит по крайней мере две разные точки. Это противоречит теореме Больцано"”Коши о промежуточных значениях непрерывной функции.
