Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 645
2014-06-08 
Дан треугольник $P_{1}P_{2}P_{3}$ и внутри него произвольная точка $P$. Пусть точки пересечения прямых $P_{1}P; P_{2}P; P_{3}P$ с противоположными сторонами $Q_{1}; Q_{2}; Q_{3}$. Докажите, что среди отношений
$\frac{|P_{1}P|}{|PQ_{1}|}; \frac{|P_{2}P|}{|PQ_{2}|}; \frac{|P_{3}P|}{|PQ_{3}|}$
имеется по крайней мере одно, не большее числа 2, и по крайней мере одно, не меньшее числа 2.
Решение:
Проведем медианы $P_{1}M_{1}, P_{2}M_{2}$ и $P_{3}M_{3}$ треугольника (рис.). Они разбивают его на шесть треугольников вида где $S$ - центр тяжести. Когда точка $P$ совпадает с $S$, то $|P_{1}P| : |PM_{1}| = |P_{2}P| : |PM_{2}| = |P_{3}P| : |PM_{3}| = 2 : 1$.
Пусть $P$ отлично от $S$. Тогда $P$ лежит внутри или на стороне одного из треугольников разбиения. Для определенности положим, что это $\triangle P_{1}SM_{2}$. Разделим стороны $P_{2}P_{1}$ и $P_{1}P_{3}$ в отношении 2:1 точками $S_{12}$ и $S_{31}$. Очевидно, $SS_{12} \parallel P_{1}P_{3}$ и $SS_{31} \parallel P_{2}P_{3}, \triangle P_{1}SM_{2}$ лежит внутри трапеции $P_{1}S_{12}SM_{2}$. Прямая $P_{2}Q_{2}$ пересекает $SS_{12}$ в точке $A_{2}$ между $P_{2}$ и $P$. Отсюда $|P_{2}P| : |PQ_{2}| \geq |P_{2}A_{2}| : |A_{2}Q_{2}| = 2:1$. Аналогично, $\triangle P_{1}SM_{2}$ лежит внутри $\triangle P_{1}SS_{31}$. Прямая $P_{1}P$ пересекает прямую $SS_{31}$, в точке $A_{1}$, в этом случае внутри отрезка $PQ_{1}$, а не внутри $P_{1}P$.
Отсюда
$|P_{1}P| : |PQ_{1}| \leq |P_{1}A_{1}| : |A_{1}Q_{1}| = 2 : 1$,
что и требовалось доказать.
Дан треугольник $P_{1}P_{2}P_{3}$ и внутри него произвольная точка $P$. Пусть точки пересечения прямых $P_{1}P; P_{2}P; P_{3}P$ с противоположными сторонами $Q_{1}; Q_{2}; Q_{3}$. Докажите, что среди отношений
$\frac{|P_{1}P|}{|PQ_{1}|}; \frac{|P_{2}P|}{|PQ_{2}|}; \frac{|P_{3}P|}{|PQ_{3}|}$
имеется по крайней мере одно, не большее числа 2, и по крайней мере одно, не меньшее числа 2.
Решение:
Проведем медианы $P_{1}M_{1}, P_{2}M_{2}$ и $P_{3}M_{3}$ треугольника (рис.). Они разбивают его на шесть треугольников вида где $S$ - центр тяжести. Когда точка $P$ совпадает с $S$, то $|P_{1}P| : |PM_{1}| = |P_{2}P| : |PM_{2}| = |P_{3}P| : |PM_{3}| = 2 : 1$.
Пусть $P$ отлично от $S$. Тогда $P$ лежит внутри или на стороне одного из треугольников разбиения. Для определенности положим, что это $\triangle P_{1}SM_{2}$. Разделим стороны $P_{2}P_{1}$ и $P_{1}P_{3}$ в отношении 2:1 точками $S_{12}$ и $S_{31}$. Очевидно, $SS_{12} \parallel P_{1}P_{3}$ и $SS_{31} \parallel P_{2}P_{3}, \triangle P_{1}SM_{2}$ лежит внутри трапеции $P_{1}S_{12}SM_{2}$. Прямая $P_{2}Q_{2}$ пересекает $SS_{12}$ в точке $A_{2}$ между $P_{2}$ и $P$. Отсюда $|P_{2}P| : |PQ_{2}| \geq |P_{2}A_{2}| : |A_{2}Q_{2}| = 2:1$. Аналогично, $\triangle P_{1}SM_{2}$ лежит внутри $\triangle P_{1}SS_{31}$. Прямая $P_{1}P$ пересекает прямую $SS_{31}$, в точке $A_{1}$, в этом случае внутри отрезка $PQ_{1}$, а не внутри $P_{1}P$.
Отсюда
$|P_{1}P| : |PQ_{1}| \leq |P_{1}A_{1}| : |A_{1}Q_{1}| = 2 : 1$,
что и требовалось доказать.
