Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 644
2014-06-08 
Решите уравнение
$\cos^{n} x - \sin^{n} x =1$,
где $n$ - произвольное натуральное число.
Решение:
1) Пусть сначала $n$ - четное, т. е. $n = 2m$, тогда $\cos^{2m} x = 1 +\sin^{2m} x$, поскольку $\cos^{2m} x \leq 1 \leq 1 + \sin^{2m} x$, то $\sin x = 0$ и $\cos x = \pm 1$, т. е. $x = k \pi, k = 0; \pm 1; \pm 2; \cdots$
2) Пусть теперь $n$ - нечетное, т. е. $n = 2m + 1$, причем $m \geq 1$.
Тогда
$\cos^{2m + 1} x - \sin^{2m + 1} x = \cos^{2m + 1}(-x) + \sin^{2m + 1}(-x) = 1$
при $x \neq k \frac{\pi}{2}, | \cos (- x) | < 1$ и $| \sin (- x)| < 1$, тогда
$|\cos^{2m + 1}(- x) + \sin^{2m + 1}( - x) \leq | \cos^{2m + 1} (- x)| + |\sin^{2m + 1} (- x) | \leq |\cos^{2m- 1}(- x) | \cos^{2} (- x) + | \sin^{2m - 1} (- x) | \sin^{2} (- x) < \cos^{2} (- x) + \sin^{2} (- x) = 1$.
Следовательно, решение может быть только вида $x k \frac{\pi}{2}$, и притом только такое, когда одно из слагаемых равно 0, другое -1. Отсюда первая серия решений $x = 2k \pi$, вторая серия $x = 2k \pi - \frac{\pi}{2}, k = 0; \pm 1; \pm 2; \cdots$
3) Пусть $n = 1$, тогда $\cos x - \sin x = 1$. Возведем обе части этого уравнения в квадрат. Получим $\cos^{2} x – 2 \cos x \sin x + \sin^{2} x = 1$, т. е. $2 \cos x \sin x = 0$. Решения последнего уравнения суть $x = k \frac{\pi}{2}$. Но только часть из них будет решением исходного уравнения, остальные являются корнями уравнения $\cos x - \sin x = - 1$. Ясно, от 0 до $2 \pi$ решениями будут 0 и $\frac{3}{2} \pi$. Следовательно, имеется две серии решений:
$x = 2 k \pi; x = 2k \pi - \frac{\pi}{2}; k = 0; \pm 1; \pm 2; \cdots$
Решите уравнение
$\cos^{n} x - \sin^{n} x =1$,
где $n$ - произвольное натуральное число.
Решение:
1) Пусть сначала $n$ - четное, т. е. $n = 2m$, тогда $\cos^{2m} x = 1 +\sin^{2m} x$, поскольку $\cos^{2m} x \leq 1 \leq 1 + \sin^{2m} x$, то $\sin x = 0$ и $\cos x = \pm 1$, т. е. $x = k \pi, k = 0; \pm 1; \pm 2; \cdots$
2) Пусть теперь $n$ - нечетное, т. е. $n = 2m + 1$, причем $m \geq 1$.
Тогда
$\cos^{2m + 1} x - \sin^{2m + 1} x = \cos^{2m + 1}(-x) + \sin^{2m + 1}(-x) = 1$
при $x \neq k \frac{\pi}{2}, | \cos (- x) | < 1$ и $| \sin (- x)| < 1$, тогда
$|\cos^{2m + 1}(- x) + \sin^{2m + 1}( - x) \leq | \cos^{2m + 1} (- x)| + |\sin^{2m + 1} (- x) | \leq |\cos^{2m- 1}(- x) | \cos^{2} (- x) + | \sin^{2m - 1} (- x) | \sin^{2} (- x) < \cos^{2} (- x) + \sin^{2} (- x) = 1$.
Следовательно, решение может быть только вида $x k \frac{\pi}{2}$, и притом только такое, когда одно из слагаемых равно 0, другое -1. Отсюда первая серия решений $x = 2k \pi$, вторая серия $x = 2k \pi - \frac{\pi}{2}, k = 0; \pm 1; \pm 2; \cdots$
3) Пусть $n = 1$, тогда $\cos x - \sin x = 1$. Возведем обе части этого уравнения в квадрат. Получим $\cos^{2} x – 2 \cos x \sin x + \sin^{2} x = 1$, т. е. $2 \cos x \sin x = 0$. Решения последнего уравнения суть $x = k \frac{\pi}{2}$. Но только часть из них будет решением исходного уравнения, остальные являются корнями уравнения $\cos x - \sin x = - 1$. Ясно, от 0 до $2 \pi$ решениями будут 0 и $\frac{3}{2} \pi$. Следовательно, имеется две серии решений:
$x = 2 k \pi; x = 2k \pi - \frac{\pi}{2}; k = 0; \pm 1; \pm 2; \cdots$
